1、2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程【选题明细表】知识点、方法 题号椭圆定义的理解 4,6,13椭圆标准方程的理解 1,3,11椭圆定义的应用 5,7,9,12求椭圆的标准方程 2,8,10【基础巩固】1.“mn0”是方程 mx2+ny2=1表示焦点在 y轴上的椭圆的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:将方程 mx2+ny2=1转化为 + =1,2121要使焦点在 y轴上必须满足 0,即 mn0,反之亦成立,故选 C.1 12.(2018华师大三附中高二期中)设椭圆的一个焦点为( ,0),且 a=2b,3则椭圆的标准方程为(
2、 A )(A) +y2=1 (B) +y2=124 22(C) +x2=1 (D) +x2=124 22解析:因为 a=2b,椭圆的一个焦点为( ,0),3所以设椭圆的标准方程为 + =1,24222所以 a2-b2=3b2=3,所以 a2=4,b2=1,故椭圆的标准方程为 +y2=1.24故选 A.3.若椭圆 + =1表示焦点在 y轴上的椭圆,则 m的取值范围为( 210 22B )(A)(2,10) (B)(6,10)(C)(2,+) (D)(2,6)解析:由题意得解得 610,20,100, 故选 B.4.(2018平安一中高二期中)椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,AB是椭圆过29
3、 225焦点 F1的弦,则ABF 2的周长是( A )(A)20 (B)12(C)10 (D)6解析:椭圆 + =1,所以 a=5,b=3.29 225ABF 2的周长是(|AF 1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20,故选 A.5.(2018长春市五县联考高二期末)已知椭圆 C: + =1的左、右焦点21629分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆 C于 P,Q两点,若|F 1P|+|F1Q|=10,则|PQ|等于( B )(A)8 (B)6(C)4 (D)2解析:因为直线 PQ过椭圆的右焦点 F2,由椭圆的定义,在F 1PQ中,有|F 1P|+|F1Q|+
4、|PQ|=4a=16.又|F 1P|+|F1Q|=10,所以|PQ|=6.故选 B.6.椭圆 + =1上一点 P到椭圆左焦点的距离为 7,则点 P到右焦点的距2100264离为 . 解析:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,所以 7+|PF2|=20,解得|PF 2|=20-7=13.答案:137.(2018西城区第十四中学高二期中)已知椭圆 + =1的两个焦点是24 22F1,F2,点 P在该椭圆上,若|PF 1|-|PF2|=2,则PF 1F2的面积是 . 解析:由题意|PF 1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=2,所以|PF 1|=3,|PF2|=1.因为|F 1F2|
5、=2 ,所以 PF2F 1F2,2所以 = |F1F2|PF2|= 2 1= .1212 12 2 2答案: 28.设 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点 ,设椭圆 C上一点(2222, )到两焦点 F1,F2的距离和等于 4,写出椭圆 C的方程和焦点332坐标.解:由点( , )在椭圆上 ,332得 + =1,(3)22 (32) 22又 2a=4,所以椭圆 C的方程为 + =1,24 23焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).【能力提升】9.(2018福州市高二期末)已知动点 P(x,y)满足 +2+(+3)2=10,则动点 P的轨迹是( B )2+(3)2(A)
6、圆 (B)椭圆(C)直线 (D)线段解析:因为动点 P(x,y)满足+ =10,2+(+3)2 2+(3)2所以动点 P的轨迹是以(0,-3),(0,3)为焦点,a为 5的椭圆.故选 B.10.(2018龙岩市连城一中高二期中)过点(3,-2)且与椭圆 3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为( C )(A) + =1 (B) + =125 210 210215(C) + =1 (D) + =1215210 225210解析:由椭圆 3x2+8y2=24转化成标准方程: + =1,28 23则焦点在 x轴上,c= = ,83 5则焦点坐标为(- ,0)( ,0),5 5则设所求椭圆为 + =
7、1,(a ),22 2255将点(3,-2)代入椭圆方程,整理得 a4-18a2+45=0,解得 a2=15,a2=3(舍去),所以椭圆的标准方程为 + =1,215210故选 C.11.若椭圆 C1: + =1(a1b10)和椭圆 C2: + =1(a2b20)的焦点相同且221221222222a1a2,给出如下五个结论:椭圆 C1与椭圆 C2一定没有公共点; ; - = - ;a 1-a2a2,所以 b1b2,所以两个椭圆无公共点 - = = 0),则点 P的轨迹是( D )9(A)椭圆 (B)线段(C)不存在 (D)椭圆或线段解析:因为 a0,所以 a+ 2 =6.9 9当 a+ =6=|F1F2|时,由点 P满足条件|PF 1|+|PF2|=a+ =|F1F2|得,点 P的轨9 9迹是线段 F1F2.当 a+ 6=|F1F2|时,由点 P满足条件|PF 1|+|PF2|=a+ |F1F2|得,点 P的轨9 9迹是以 F1,F2为焦点的椭圆.综上,点 P的轨迹是线段 F1F2或椭圆,故选 D.
