1、【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（3）会利用导数解决某些实际问题。【命题规律】 导数综合问题是高考中的难点所在，题型变化较多，尤其是利用导数证明不等式等相关知识.熟练掌握利用导数这一工具，将试题进行分解，逐一突破，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题，这也是 2018 年考试的热点问题.【典
2、型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例 1.【2015 全国 2 卷（理） 】设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【方法技巧归纳】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的方法运用的是特值法，将抽象问题具体化，找出与已知条件符合的特殊函数，分析其函数的图像及其性质，进而得出所求的结果，其解题的关键是特值函数的正确选取.【变式 1】 【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求最值】 【2017
3、 河南郑州三质检】设函数 满足， ，则 时， 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于等式 ，因为 ，故此等式可化为： ，且.令 ， .当 时， ， 单调递增，故 ，因此当 时， 恒成立.因为 ，所以 恒成立.因此， 在 上单调递增， 的最小值为 .故本题正确答案为 D. 【变式 2】 【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】 【2018 江西南昌二轮复习测试】已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ,则不等式() (,0) () ()2()1的解集为（ ）(2017+)(+2017)2(1)0 ()+()(+1)() ()(1)()C D ()() ()
4、()【答案】C【解析】【变式 4】 【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】 【2018 安徽蚌埠二中高三 7 月月考（文） 】已知对任意实数 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最大整数值为( )1kx2xkae0,aA. 0 B. C. D. 23【答案】B【解析】令 ，依题意，对任意 ，当 时， 图象在直线(0)xfe1k0xyfx下方， 列表ykxa21xfe得的大致图象yfx则当 时， ，当 时不成立；0a2f12k当 时，设 与 相切于点 .10ykxyfx0,xf则 ，解得 .0020 0211xfkxe051,2x ，故成立，当 时, .故选 B.05123aZmax（二）方
5、程解（函数零点）的个数问题例 2.【2015 全国 1 卷（理） 】已知函数 ， （1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数【答案】 （） ；（）当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当时， 有三个零点. 【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（）根据对数函数的图像与性质将 分为 研究 的零点个数，若零点不容易求解，则对 再分类讨论.试题解析：（）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，即 ，解得.因此，当 时， 轴是曲线 的切线.（）当 时， ，从而 ， 在（1，+）无零点.当
6、=1 时，若 ，则 ， ,故 =1 是 的零点；若 ，则， ,故 =1 不是 的零点.当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数.（）若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在（0,1）单调，而 ， ，所以当 时， 在（0，1）有一个零点；当 0 时， 在（0，1）无零点.（）若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = .若 0，即 0， 在（0,1）无零点.若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点；若 0，即 ，由于 ， ，所以当 时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在（0,1）有一个零点.10 分综上，当 或 时， 由一个零点；
7、当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 【方法技巧归纳】1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.3. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题【变式 1】 【改编例题的条件，依据函数零点个数求参数的取值】 【江西省赣州市 2018 年高三（5 月
8、）适应性考试】已知函数 （ ）.()=2（1）若 ，证明：函数 有且只有一个零点；10 ()（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.() （2）解：由（1）知：当 时，函数 在 上最多有一个零点，0 ()(0,+)由 （ ） ，得 ，令()=2 ()=221 ()=0分离参数法得=+2记 ()=+2()=122的图像如图所示，()=12故当 ，(,0)()0当 ，(0,)()0 (1)=2 【解析】（1）由题意知 的定义域为 ，() (0,+)且 .()=1=1当 时， ， 在区间 上单调递增，0 () (0,+)又 ， ，(1)=+20 (2)=2=(12)0 ()=0=1在区间 上，
9、 ，函数 单调递增；(0,1) ()0 ()在区间 上， ，函数 单调递减，(1,+) ()0 在区间 上单调递增，() (1,+) ， ，()(1)=02(1)+1即 ，即 .1+22 12（5）一元函数不等式的证明例 4.【2016 山东（理） 】已知 .21()ln,xfxaaR（1）讨论 的单调性；()fx（2）当 时，证明 对于任意的 成立.a3()2fx1,x【解析】 （1） 的定义域为 ， .f0,)2233()1(aaxf 当 时， 时， ， 单调递增； ， 单调递减.0a(,)x(fxfx(1,),(0f时 ()fx当 时， .312afa（i）若 ， ，02a当 或 时，
10、， 单调递增；(,1)x,()0fx()fx当 时， ， 单调递减.2,a()0fx()f（ii）若 ，则 ，在 内， ， 单调递增；21x(,)()0fx()f（iii）若 ，则 ，a0a当 或 时， ， 单调递增；2,xx(1,)()0fx()f当 时， ， 单调递减.,a0ff综上所述，当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；()fx,1(1,)当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；02a()f0, 2,a2,a当 时， 在 内单调递增；fx,当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.2a()fx20,a2,1a(1,)【方法技巧归纳】本题主要考查
11、导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.【变式 1】 【改编例题的条件，证明不等式】 【2018 河北石家庄二模】已知函数 .()=+()(1)讨论函数 的单调性；()(2)若函数 存在极大值，且极大值为 1，证明： .()=+ ()+2【解析】（）由（）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得 ， 故此时()=+ 0，令()=+2+ ()=()
12、，所以函数 单调递增，()=+2+10 ()=+2+又 ， ，(1)=1+210故 在 上存在唯一零点 ，即 ()=+2+ (1,1) 0 0+20+0=0所以当 ， ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数(0,0) ()0 ()(0,0)在 上单调递增，() (0,+)（另证）当 时，0+00 00000+00所以 与 矛盾；0+0+0+00 0+20+0=0当 时，0+0=0 0=00=00+0=0得 ，故 成立，0+20+0=0 0+0=0得 ，所以 ，即 (0)=(0+1)(0+0)=0 ()0 ()+2【变式 2】 【改编例题的条件，证明不等式（不等式右侧是常数） 】 【山东
13、、湖北部分重点中学 2018 年高考冲刺模拟】已知函数 .()=+（）讨论函数 的单调性；()（II）证明： .(20172018)20182 ()=0=242 =+242当 时， ；(0,242 )(+242 ,+) ()0 ()(0,242 ),(+242 ,+)单调递增.(242 ,+242 )【方法技巧归纳】判断 的单调性，只需对函数求导，根据 的导数的符号判断函数的单调性，gx gx求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.【变式 1】 【改编例题的条件，双元不等式的证明】 【2018 江
14、苏省南京市溧水高级中学开学考试】已知函数1ln,axfxR(1)若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；2f yfx1,f(2)若函数 在 上为单调增函数，求 的取值范围；fx0,a(3)设 为正实数，且 ，求证： ,mnnln2m【答案】(1) ；（2） ；（3）证明见解析.81xy,【解析】试题分析：（1）求出导数，由题意可得 代入可得 ，可得切线的斜率和切点，进0f83a而得到切线的方程；（2）由函数 在 上为增函数，可得 恒成立，既有fx0,0fx，当 时， ，求得右边函数的最小值，即可得到 范围；（3）10xax12axa运用分析法证明，要证 ，只需证 ，即证 ，设lnmn
15、2lmn21l0mn，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.21lnxhx试题解析：（1） 21axf22211.xaxax由题意知 ，代入得 ，经检验，符合题意.20f 94从而切线斜率 ，切点为 ，18kf,0切线方程为 xy（3）要证 ，只需证 ，即证 只需证 21ln.m21ln0.m设 ，由（2）知 在 上是单调函数，又 ，l1xhxhx1,1mn所以 ，即 成立，所以 .0mnln01ml2【变式 2】 【改编例题的条件，双元不等式的证明（乘积形式） 】 【2017 江西师范大学附属中学（文） 】已知函数 是自然对数的底数).2l1,(,xfgaxeR(1)求函数 的单调区间
16、;(2)若 ,当 时,求函数 的最大值;hxfx0hx(3)若 且 ,求证: .0,mnnm2ne【答案】 （1） 在 上单调递增,在 上单调递减.fx0e,e（2） （3）见解析2mah【解析】试题分析：(1) 求出 ， 得增区间， 得减区间；(2)利用导数研究函fx0f0fx数 的单调性即可求函数 的最大值；（3）化简已知得 , xfgxhx 0,nm即 ，然后利用分析法证明原不等式.lnlnlmffn(2) ,2ln1(0)xhaex,2当 时, , ,xel0xe0axehx当 时, ,021n0在 上单调递增,在 上单调递减.hxe,e.2maa(3) , 即 .0,nmllnlnm
17、ffn由(1)知 在 上单调递增,在 上单调递减,且 ,fxee10则 1n要证 ,即证 ,即证 ,即证 ,2me2en2fmfn2effn即证 ,由于 ,即证 .2llne1,0l122lle令 2lln()Gxxxe 224lnln1eeGxxx恒成立l1xe0Gx在 递增, 在 恒成立,1e0Gx1原不等式成立. 【变式 3】 【改编例题的条件，证明长串不等式】 【2018 黑龙江仿真模拟五】已知函数 .()=（1）对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围；(0,1)()0 （2）当 时，令 ，求 的最大值；=1 ()=()+1 ()（3） 求证： .(+1)1+12+13+ 11+1()【解析】（2）当 时， ，=1 ()= ， ，()=+1()=11=1由 ，得： ，()=0 =1
