1、对策论,由“齐王赛马”引入,1.对策论的基本概念,三个基本要素； 1.局中人：参与对抗的各方； 2.策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略。某局中人的所有可能策略全体称为策略集； 3.局势对策的益损值：各局中人各自使用一个对策就形成一个局势，一个局势决定了个局众人 的对策结果（量化）称为该局势对策的益损值）,“齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）,其中： 齐王的策略集: S1=1,2,3,4,5,6 田忌的策略集：S1=1,2,3,4,5,6下列矩阵称齐王的赢得矩阵：3 1 1 1 -1 11 3 1 1 1 -1 A= 1 -1 3 1 1 1-1 1 1 3 1 1
2、1 1 1 -1 3 11 1 -1 1 1 3,1.基本概念（续）,二人有限零和对策：（又称矩阵策略） 局中人为2； 每局中人的策略集中策略权目有限； 每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零。,1.基本概念（续）,记矩阵对策为: G = S1, S2, A甲的策略集 甲的赢得矩阵乙的策略集“齐王赛马”即是一个矩阵策略.,2.矩阵对策的最优纯策略,在甲方赢得矩阵中：A=aijm*n i行代表甲方策略 i=1,2m J列代表乙方策略 j=1,2n aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,这一局势下甲方的益损值，此时乙方的益损值为-aij（零和性质）。 在讨论各方
3、采用的策略是必须注意一个前提就是对方是理智的。这就是要从最有把握取得的益损值情况考虑。,2.矩阵对策的最优纯策略(续),例：有交易双方公司甲和乙，甲有三个策略1，2，3；乙有四个策略1，2，3，4，根据获利情况建立甲方的益损值 赢得矩阵。-3 0 -2 0A= 2 3 0 1-2 -4 -1 3 问：甲公司应采取什么策略比较适合？,甲： 采取1至少得益3(损失 3）2 0 3 -4(损失 4）乙： 采取1甲最多得益2（乙最少得益-2）2 3（乙得益-3）3 0（乙得益 0）4 3（乙得益-3）,取大则取2 max min aij= 0i j,取小则取3 min max aij= 0j i,甲采
4、取策略2 不管乙采取如何策略，都至少得益。 乙采取策略3 不管甲采取如何策略，都至少可以得益。（最多损失0）分别称甲，乙公司的最优策略，由唯一性又称最优纯策略。 存在前提：max min aij = min max aij = vi j j i 又称（ 2 ，3 ）为对策G=s1,s2,A 的鞍点。值V为G的值。,3.矩阵对策的混合策略,设矩阵对策 G =S1,S2,A 当 max min aij min max aij i j j i时，不存在最优纯策略 求解混合策略。,3.矩阵对策的混合策略,例：设一个赢得矩阵如下:min5 9 5A = max 6 策略2 8 6 6 imax 8 9
5、min 8 策略1j,矛盾：甲取2 ，乙取时1，甲实际赢得8比预期多2（乙就少2）这对乙讲是不满意的，考虑这一点，乙采取策略2，若甲分析到这一点，取策略1，则赢得更多为9 此时，甲，乙方没有一个双方均可接受的平衡局势。 一个思路：对甲（乙）给出一个选取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各种情况下的平均赢得（损失）最多（最少）。-即混合策略,求解方法：线性规划法 （其他方法：图解法，迭代法，线性方程法等略） 例： 5 9 设在最坏的情况下，A= 甲赢得的平均值为V.8 6 （未知） STEP 1 1)设甲使用策略1的概率为X1 X1+X2=1设甲使用策略2的概率为X2 X1,X20,2)无论乙取
6、何策略，甲的平均赢得应不少于V: 对乙取1：5X1+ 8X2V 对乙取2：9X1+ 6X2V注意 V0,因为A各元素为正。 STEP 2 作变换： X1= X1/V ; X2= X2/V 得到上述关系式变为：X1+ X2=1/V (V愈大愈好）待定5X1+ 8X219X1+ 6X21X1, X20,建立线性模型：min X1+X2s.t. 5X1+8X21 X1= 1/219X1+6X21 X2= 2/21X1, X20 1/V= X1+X2=1/7所以：V=7 返回原问题： X1= X1V= 1/3X2= X2V= 2/3于是甲的最优混合策略为：以1/3的概率选1；以2/3的概率选2最优值V
7、=7.,同样可求乙的最优混合策略： 设乙使用策略1的概率为Y1 Y1+Y2=1设乙使用策略2的概率为Y2 Y1,Y20 设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为V.这也是乙损失的平均值，越小越好作变换： Y1= Y1/V ; Y2= Y2/V 建立线性模型：max Y1+Y2s.t. 5Y1+9Y21 Y1= 1/148Y1+6Y21 Y2= 1/14Y1, Y20 1/V= Y1+Y2=1/7所以：V=7,返回原问题： Y1= Y1V= 1/2Y2= Y2V= 1/2于是乙的最优混合策略为：以1/2的概率选1；以1/2的概率选2最优值V=7. 当赢得矩阵中有非正元素时，V0的条件不一定成立，可以作
8、下列变换：选一正数k，令矩阵中每一元素加上k得到新的正矩阵A，其对应的矩阵对策G= S1,S2,A与 G = S1,S2,A 解相同，但VG = VG - k,例：求解“齐王赛马”问题（见备课稿） 优超原则：假设矩阵对策 G = S1,S2,A 甲方赢得矩阵 A=aijmn - 若存在两行（列），s 行（列）的各元素均优于 t 行（列）的元素，即asjatj j=1,2n ( ais ait i=1,2m )称甲方策略s优超于t ( s优超于t),3.矩阵对策的混合策略(续),- 优超原则：当局中人甲方的策略t被其它策略所优超时，可在其赢得矩阵A中划去第t行（同理，当局中人乙方的策略t被其它策
9、略所优超时，可在矩阵A中划去第t列）。如此得到阶数较小的赢得矩阵A，其对应的矩阵对策G= S1,S2,A与 G = S1,S2,A 等价，即解相同。,3.矩阵对策的混合策略(续),例 设甲方的益损值 赢得矩阵。3 2 0 3 0 被第3、4行所优超5 0 2 5 9 被第3行所优超A= 7 3 9 5 94 6 8 7 5.56 0 8 8 3 得到7 3 9 5 9 被第1列所优超A1= 4 6 8 7 5.5 被第2列所优超6 0 8 8 3,3.矩阵对策的混合策略(续),续例 得到7 3 9A2= 4 6 5.56 0 3 被第1行所优超 得到7 3 9 被第1列所优超A3= 4 6 5.57 3 最终得到 A4= 4 6,3.矩阵对策的混合策略(续),对A4计算，用线性规划方法得到： （注意：余下的策略为3，4，1，2） 甲： X* = (0，0，1/15，2/15，0)T V=5X*= (0，0，1/3 ，2/3 ，0)T 乙： Y* = (1/10，1/10，0，0，0)T V=5Y*= (1/2 ，1/2 ，0，0，0)T 注： 利用有超原则化简赢得矩阵时，有可能将原对策问题的解也划去一些（多解情况）； 线性规划求解时有可能是多解问题。 习题：P343-1，3，4,3.矩阵对策的混合策略(续),
