1、利用平行四边形的性质解（证）题平行四边形具有：对边平行、对角相等、对边相等、对角线互相平分等性质，因此这些性质为我们提供了证线段平行、相等，角相等，两线段互相平分的新方法，在证明这些问题时，可证他们所在的四边形是平行四边形下面举例说明平行四边形的性质在解（证）题中的应用。一、求角度例 1平行四边形 ABCD 中， A-B= 025，则A=_;B=_;C=_;D=_.分析：设B 为 x，则A 为 0+x.ABCD 是平行四边形，A+B= 18即 x+ 025+x= 018.x= 05.7 A= .，B= .由于平行四边形对角相等，所以C= 0.12， D= 05.7.评注：（1）在解决求平行四边
2、形的内角的度数问题时，应注意抓住两个等量关系:平行四边形对角相等平行四边形邻角互补（2）当题目未明确等价角的度数，而是给了两个角的关系时，应注意运用方程来求解.二、求线段长例 2如图 1，在 ABCD 中，如果 AB5，AD9，ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD的延长线于点 F，则 DF_.EA DB CF图 1分析：观察图形，容易看出 DFCFCD.又，CDAB5，那么要求 DF 的长，应先确定 CF 的长.解：在 ABCD 中，因为 ABCF，所以ABEF.因为 BE 平分BABC，所以CBFABEF.所以 CFBCAD9.所以 DFCFCD4.评注：本题的解答过程中，运用了平行
3、四边形的对边平行和对边相等的性质.三、求周长例 3已知：如图 2，在 ABCD 中，BECD，BFAD， EDF= 03，BE=8，BF=14，求 ABCD 的周长.D EBFAC图 2分析：平行四边形的周长是相邻两边长度之和的 2 倍，因而只要利用平行四边形的性质求出相邻两边的长，问题即可解决.解:ABCD 是平行四边形，CDAB.CDF= 03， A=CDF= 03.BFAD，BF=14，AB=2BF=28.A=C(平行四边形的对角相等)C = 0.BECD，BE=8，BC=2BE=16.平行四边形 ABCD 的周长为:2(AB+BC)=2(28+16)=88.评注：在平行四边形的解题过程
4、中，要善于联系以往学习的有关知识，如此题用到了在直角三角形中， 03角所对的直角边是斜边的一半的知识.四、求线段的取值范围例 4如图 3， ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果 AC12， BD10， ABm ，那么 m 的取值范围是（ ）（A）10m12 （B）2m22 （C）1m11 （D）5m6.ODACB图 3分析：要求 m 的取值范围，应考虑与 AB 有关的三角形的三边之间的不等关系.结合题中条件，应考虑OAB 三边之间的不等关系.解：在平行四边形 ABCD 中，因为对角线 AC 和 BD 相交于点 O，所以 OA 12AC6，OB 12BD5.因为 OAOBAB
5、OAOB，所以 1m11.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对角线互相平分的性质.五、证明线段相等例 5如图 4，已知 AD 为ABC 的中线，E 为 AC 上一点，连结 BE 交 AD 于 F，且AEFE则 BFAC说明理由图 4分析：延长 AD 到 N，使 DNAD，构造出平行四边形 ABNC证明：延长 AD 到 N，使 DNAD，连结 BN、CN，则四边形 ABNC 为平行四边形BNAC，BNAC，14AEFE，1223，14，34BNBF，BFAC评注：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要
6、方便、简捷六、证明线段的不等关系例 6如图 5，已知ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，E 是 AC 延长线上的一点，且DB=CE，试说明 DEBC图 5解析：因为 DE、BC 不在同一三角形中，其大小不好比较，把 DE 沿着 AB 平移到 BF，连结 CF、EF，则可得四边形 BDEF 为平行四边形，从而得出BFE=BDE，EF=BD=CE，CFE=FCE，又因为BCF=BCE-FCE，BFC=BFE-CFE，而由ABC=ACB，因ABC+CBF+BDE=BCE+ACB，由此可得BCEBDE，所以BCFBFC，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BFBC，即 DEBC评注：本题借
7、助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角形中，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证七、求面积例 7如图 6， ABCD 中，点 E 在 AC 上，AE=2EC，点 F 在 AB 上，BF=2AF.如果BEF的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积.图 6DFECBA分析：根据等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比，求出AEF 的面积和BEF的面积，再根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的两个三角形，从而求出平行四边形的面积.解:四边形 ABCD 是平行四边形，AC 是对角线 ABCS2平 行 四 边 形 点 F 在 AB 上，BF=2AF，BEA 和BEF 是过 E 点的高相等的两个三角形， BEFBEAS23同理 BFBAAC4923因此 ）（平 行 四 边 形 294cmSC.评注：本题考查面积问题中的面积变换，面积变换具有下列的特征:等底或同底且高相等的两个三角形的面积相等；等底或等高的两个三角形的面积比等于它们的高或底的比；此题将平行四边形的面积与三角形的面积进行了整合.
