1、1,第四章,素数定理与哥德巴赫猜想,2,开篇：,算术给予我们一个用之不尽的,充满有趣真理的宝库。这些真理不是孤立的，而是已相互最密切的关系并立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发现这些真理间的新的，完全意外的接触点。G.F.高斯数学，科学的皇后；数论，数学的皇后。G.F.高斯,3,4.1初等数论基础,4.1.1什么是数论 数论是研究整数性质的一个数学分支。它主要包括初等数论、解析数论、代数数论、丢番图逼近、超越数论等，还有其它分支，现代数论已深入到数学的一切分支。,4,4.1初等数论基础,4.1.1什么是数论 初等数论以算术方法为主，但初等数论中的一些问题的研究促进了新的数学分支的产
2、生。同时一些方法的出现也产生了新的研究方法。到目前为止，还有初等数论的一些问题没有解决，而且多是一些很有意思的问题。,5,4.1初等数论基础,4.1.1什么是数论 数论的特点：看起来容易，实际上往往很难。做数论的大多是数学家中的大师，而且一般是最聪明的一些人，这些人大多都是全才。 特别注意的是一些数学功力不够的年轻人不要轻易陷到数论难题的旋涡里。,6,4.1.2素数与合数,自然数分为三类：1；P，只有自然数1和P是它的因数；n,有两个以上大于1的因数；2)类中的数叫素数，又叫质数，如2,3,5,7,11,13,17,3)类中的数叫合数，如4,6,8,9,24,56,65,7,4.1.3素数表,
3、引理 每一个合数n至少有一个素因数筛法（埃拉多斯染尼）：要求出不超过N的一切素数，根据引理只需要把不超过 的素数的倍数划去即可，这是因为不超过N的合数的最小素因数总是不超过 的。例求不超过60的全体素数。,8,4.1.3素数表,欧几里德证明了有无穷个素数。但是至今没有找到素数的模型或产生素数的有效工具。大家可能会问，数论有用吗？大素数有用吗？在过去一般认为数论是最抽象的数学分支，与应用无关。英国大数学家哈代曾认为纯数学，特别是数论与战争无关。然而二战以后却让数学应用的面貌发生了根本性的变化，数学已渗透到社会的一切领域中去了。,9,4.1.3素数表,目前，各国的核导弹都由密码系统所控制，而数论已
4、成为控制成千上万颗的核导弹的密码系统的理论基础。最好的密码是用素数制造的，极难破译。如用计算机算出两个100位的素数的乘积是一件容易的事，但如果给出一个200位的数，让你找出它的分解式来，那就困难的多。,10,4.1.4算术基本定理,另一种算术：定义所有的偶数为一个数集H， H中不能分解为其余两个偶数的积的记为素偶数，而能分解为其余两个偶数的积的数记为合偶数。则2，6，10，14，18为素偶数,4,8,12,16为合偶数,不难看出,每一个偶数,或者是素偶数,或者是合偶数.但其分解不唯一。如 420=6*70=10*42=14*30。,11,4.1.4算术基本定理,定理1每个大于1的整数要么是素
5、数，要么是若干素数的乘积。定理2（算术基本定理）一个数的素因数分解式是唯一的。证明：用反证法，设C是不满足以上条件最小的数C=pq,p 是最小的素数，则q有唯一的素因数分解。则必有C=kl,kp,ql pl0但p|c,所以p| d=kl-pl,p|l或p|(k-p),矛盾。,12,4.1.5费马（1601-1665）素数,在寻找素数的历史中,人们还不满足于仅仅寻找一个一个的具体的素数,他们想到,要是有一个公式,用这个公式能够源源不断地求出所有的素数,那该多好啊!于是一场漫无边际的寻找素数公式的风潮席卷数百年的历史.可是,素数的分布如此没有规律,以至于有道于此的数学家无从下手,只好盲目地猜测,也
6、没有经过证明,很难说一个公式到底对不对.一六四零年,费马提出了一个猜测:,13,4.1.5费马素数,一切形如 (x=1,2,3,.)的数都是素数.就是今天我们所看到的“费马素数”.一般用 来表示.的确,n=0,1,2,3,4时,得出的都是素数:于是,费马宣称他找到了表示素数的公式.我们把形如 的数称为费马素数.,14,4.1.5费马素数,然而,67年后的1732年,二十五岁的年轻数学家欧拉发现: 225+1=4294967297=24 (27)4+1 =(53+1)(27)4+1 =(275-54+1)(27)4+1 =(1+275)(27)4+1-(275)4 =(1+275)(27)4+(
7、1-275)1+(275)2 =6416700417,15,4.1.5费马素数,1880年,兰凯又证明了F6=2747767280421310721也是个合数.接着人们陆续发现n=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,23,25,26,27,28,29,30,32,36,38,39,42,52,55,58,62,63,66,71,73,75,77,81,91,93,99,117,125,144,147,150,201,205,207,215,226,228,250,255,267,268,275,284,287,298,316,329,334,398,4
8、16,452,544,556,637,692,744,931,1551,1945,2023,2089,2456,3310,4724,6537,6835,9428,9448,23471,.等等都是合数.却再也没有找到一个费马素数.,16,4.1.5费马素数,故事仍在继续费马数后来又出现在用直尺和圆规作正多边形这样一个完全不同的问题中。,古希腊人对于寻找用圆规和直尺（无刻度的）作正多边形的方法十分感兴趣，当然对于等边三角形和正方形之些简单的情形，利用不断地平分中心角的方法，他们能够作出具有4，8，16，32，2n, 或3，6，12，24，32n, 个顶点的正多边形，此外他们还能作正五边形，因此，也
9、能作出具有5，10，20，40， ，52n, 个顶点的正多边形，这样又可以得到别外一系列的正多边形。由于正十五边形的中心解是24这可由正五边形中心角72及正三角形的中心角120来作出，由第一个角的两倍减去第二个角得到。因此，我们能够作出边数为15，30，60，120， ，152n, 的正多边形。,17,4.1.5费马素数,对于正多边形的作图，直到数学家高斯（Gauss，17771855）在1801年发表了数论的划时代著作算术研究，才有了突破性的进展。高斯超过希腊数学家的，不仅是他给出了一个利用圆规和直尺作正十七边形的方法，更重要的是他解决了哪些正多边形可以这样作出，而哪些则不能 。,18,4.
10、1.5费马素数,定理4对奇数n，当且仅当n是一个费马素数，或是若干个不同的费马素数的乘积时，正n边形才能用直尺和圆规作出来。 从这个定理,可以看出,对奇数n，正3边形和正5边形可以作出,但不能作出正7边形,因为7不是费马素数,也不能作出正9边形,因为9=3*3是两个相等的费马素数的乘积,也不能作出正11边形和正13边形,但可以作出正15边形和正17边形,然后就是51,85,255,257, 这个定理的证明要借助伽罗瓦理论.,19,4.1.6完全数与梅森数,梅森（Mersenne Marin 1588-1648），法国数学家，自然哲学家和宗教学家，他在1644年提出了梅森素数，梅森素数的提出是探
11、索素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义。定义形如 的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数。例,20,4.1.6完全数与梅森数,梅森提出的问题虽然有启发性但判断有误。他说，然而，验证结果却是：,21,4.1.6完全数与梅森数,定理5证明略据今为止发现的梅森数有34个是素数。从第13个，即M521开始，都是借助计算机陆续发现的。,22,4.1.6完全数与梅森数,梅森数中是否有无穷多个素数？这是一个没有解决的问题。猜想：,23,4.1.6完全数与梅森数,定义 一个自然数n称为完全数，如果它的全 部因数之和等于2n.,24,4.1.6完全数与梅森数,25,4.1.6完全数与梅森数,回到完
12、全数的问题。古希腊人已经知道4个完全数：6，28，496，8128。 猜想：1）第n个完全数恰有n位数字；2）偶完全数总是交替地以6和8结尾。 可惜这两个猜想都是错误的，不存在5位数字的完全数，第5个完全数是15世纪发现的，它是33550336。第6个完全数是8589869056，它的末位数字也是6，而不是8。可以证明，偶完全数总是以6和8 结尾，但不一定交替出现。,26,4.1.6完全数与梅森数,可以看到，完全数十分稀少，我们现在还不能确定是否有无限个完全数。 关于所有完全数的一般形式，欧几里得已经部分地解决了这个问题。他证明了：,27,4.1.6完全数与梅森数,定理6这个定理说明，是否有无
13、穷多个偶完全数的问题归结为是否有无穷多个梅森素数的问题。由于目前只知道34个梅森素数，所以只知道34个偶完全数。,28,4.1.6完全数与梅森数,29,4.1.6完全数与梅森数,30,4.1.6完全数与梅森数,目前只知道有34个偶完全数。 是否有奇完全数？又是一个没有解决的问题！借助计算机可以证明：若n为奇完全数,则n10300；若n为奇完全数，则n必有一个大于100110的素因数;若n为奇完全数，则n的互异的素因数的个数至少是8.,31,4.1.7高斯的功绩,高斯（Gauss Carl Friedrick 1777-1855），与阿基米德和牛顿并列为历史上最伟大的数学家。24岁发表算术研究，
14、是数学史上最出色的成果之一。利用数论对正n边形作图问题提出了代数解法。使用了复数，并在1831年借助复数的平面表示建立了严密的复数理论。是首先认识到非欧几何存在的人，并奠定了曲面内蕴几何学的基础。,32,“数学家之王”当之无愧！,33,4.2素数定理与哥德巴赫猜想,4.2.1素数定理定理1 素数有无穷多个。证明:反证法哈代评价说：“我们最好还是回到古希腊人那里去，我要叙述并证明希腊数学中两个有名的定理，这两个定理都很简单。”“在思想和演算上都很简单，但毫无疑问它们是最高水平的定理。每一个定理现在仍然像它们刚发现时那样生机勃勃而举足轻重两千年的岁月没有使它们产生一点陈旧感。”,34,4.2素数定
15、理与哥德巴赫猜想,4.2.1素数定理欧几里得的证明带来了一个有趣的问题，如 2*3*5*7*11+1这样的数是不是素数？,35,4.2素数定理与哥德巴赫猜想,4.2.1素数定理定理2相邻素数的间距要多大有多大。证明:通过举例证明,存在999个连续的自然数,其中没有一个是素数,它们是:1000!+2, 1000!+3, 1000!+4 1000!+1000。同样的方法可以造出更大的间隔,这样就完成了定理的证明。,36,4.2素数定理与哥德巴赫猜想,4.2.1素数定理 2和3是唯一一对相差为1的素数。2和5是唯一一对相差为3的素数。 2和7是唯一一对相差为5的素数。 不存在一对相差为7的素数。 相
16、差为2的素数比较多，我们称其为孪生素数,如 3,5；5,7；11,13 ；17,19；29,31；41,43 孪生素数对的个数是有限还是无限是数论中最高深的研究课题之一。,37,4.2素数定理与哥德巴赫猜想,4.2.1素数定理定理3(素数定理)定理4（切比雪夫1848） 1896年，法国数学家阿达马和泊松几乎同时相互独立证明了素数定理。但比较初等的证明直到1949年才给出。,38,4.2.2哥德巴赫猜想1742年，德国数学家哥德巴赫（Christian Goldbach,1690-1764）在和欧拉的几次通信中，提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测，即：（A）每一个不小于6的偶数都是两个奇
17、素数之和；（B）每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和；这就是著名的哥德巴赫猜想。我们把猜想（A）称为“关于偶数的哥德巴赫猜想”；把猜想（B）称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”。由（A）的正确性可以推出（B）的正确性。,39,4.2.2哥德巴赫猜想6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7=3+11 16=3+13=5+1118=5+13=7+11 20=3+17=7+13 22=3+19=5+17=11+11 24=5+19=7+17=11+13 26=3+23=7+19=13+13 28=5+23=11+1730=7+23=11+19=13+17 ,40,4.2.2哥德巴
18、赫猜想欧拉虽然没能证明这两个猜想，但肯定上述猜想是正确的。直至今天人们还不能最后的肯定它的真伪，为了证明它人们付出了艰巨的努力。 从提出猜想到19世纪结束这160年，虽然许多数学家对它进行了研究，但是没有得到任何实质性的结果。这些研究大多是对猜想进行数值的验证（有人企图推翻它），提出一些简单的关系式或进行一些新的推测。,41,4.2.2哥德巴赫猜想 1900年，希尔伯特提出了23个比较重要的没有解决的数学问题，并期待在新世纪有较大的突破。哥德巴赫猜想是其第八个问题的一部分。 1912年，朗道比较悲观的认为，即使要证明：“存在一个正整数k，使每一个大于等于2的整数都是不超过k个素数之和。”也是非
19、常困难的。 1921年，哈代认为哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个。,42,4.2.2哥德巴赫猜想 但是，从1920年开始，哥德巴赫猜想陆续取得了一系列的突破。 1937年，苏联数学家阿 .维诺克拉多夫（1891-1983）证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和。 1938年，华罗庚及一些国外的数学家独立地证明了，哥德巴赫猜想对几乎所有的偶数都成立。,43,4.2.2哥德巴赫猜想 殆素数指素因数个数不超过某一常数的自然数，每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过a和b的殆素数之和，记为（a，b）。 定理4(布朗1920) 每一个充分大的偶数都可以表示为素因数个数不超过9
20、的两个殆素数之和，即(9,9)成立。 定理5(瑞尼,1948 ) 存在一个正常数c,使每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过c的殆素数之和，即（1，c）成立。,44,4.2.2哥德巴赫猜想1956年，王元证明了(3,4)。同年，阿 .维诺克拉多夫证明了(3,3)。 1957年，王元又证明了(2,3)。 1962年，潘承洞证明了(1,5)。 1963年，潘承洞与巴尔巴恩又分别证明了(1,4)。1965年，阿 .维诺克拉多夫，布赫夕塔布与朋比尼都证明了(1,3)。,45,4.2.2哥德巴赫猜想1966年，我国著名数学家陈景润对筛法作了重要改进之后证明了（1，2），也称1+2。这是一个非常
21、杰出的成就。从1937年以来，许多数学家哥德巴赫猜想都做了许多工作，并取得了巨大的进展。尽管如此，人们还看不到哥德巴赫猜想解决的最后日程。,46,4.2.2哥德巴赫猜想有关素数的十二个未解决的问题：1）是否存在大于2的偶数，不是两个素数之和？2）是否存在大于2的偶数，不是两个素数的差？3）是否存大无穷多对孪生素数？4）是否存在无穷多个梅森素数？5）是否存在无穷多个梅森数是复合数？6）是否存在无穷多个费马素数？,47,4.2.2哥德巴赫猜想有关素数的十二个未解决的问题：7）是否存在无穷多个费马数是复合数？8）是否存在无穷多个素数具有 的形式，其中x是整数？9）是否存在无穷多个素数具有 的形式，其中k是给定的整数？10）对每一个整数n，是否在n2与（n+1）2之间都至少存在一个素数？,48,4.2.2哥德巴赫猜想有关素数的十二个未解决的问题：11）对每一个整数n1，是否在n2与n2+n间都至少存在一个素数？12)是否有无穷多个素数，其每一位都是1（如，11，111111111111111111）？,
