1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十二讲 一元微积分的应用(五),脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中, 平面曲线的曲率,第六章 一元微积分的应用,本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：
2、平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。,第六章 一元微积分的应用,第 七 节 平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如,判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中,何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和,都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的,弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工,具的设计等等 .,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度 ?,单位弧长上的转角,一、曲率的概念
3、,解,求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .,如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .,设曲线方程为,则在曲线上点,处的曲率为,二、曲率的计算公式,证,如图所示 ,曲线在,故,又,从而,解,直线上任意一点处的曲率均为零 .,俗话说 , 直线不弯曲 .,解,哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .,利用参数方程求导法求出,故,得驻点,故在各象限中,由此可得 :,将它们代入曲率计算公式中即可得：,三、参数方程下曲率的计算公式,解,会出现导数的分母,为零的情形 ,相同 ,对称 , 故原问题可以转为求曲线,图形关于,在有些实际问题中 ,
4、现在问你一下 : (假设单位是统一的),如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为,你能想象出它的弯曲程度吗？,如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象,出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？,由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,作其,法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q ,使,以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点,M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为,曲率半径 .,三、曲率圆、曲率中心,曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处,两者曲率相同 .,曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二,阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶,导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现 .,曲率圆的性质,则曲线在点,曲率中心的坐标,证,则,曲线在点,由于,故有,其斜率为,曲线在点 M 处切线的斜率为,从而 , 有,(1),(2),由 (1) , (2) 两式消去,由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以,故对上式两边开方得,由 (2) 式 , 得,画画图更清楚,解,曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .,曲率中心为,曲率圆的方程为,
