1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式2灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数 公式 简记正弦 sin 2_ S() S2余弦 cos 2cos 2sin 2_ C() C2正切 tan 2_ T() T2对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式 S2，C 2中，角 可以为任意角，T 2则只有当 (kZ )时k2 4才成立(2)倍角公式不仅限于 2 是 的二倍形式，其他如 4 是 2 的二倍、 是 的二倍、32是 的二倍等等都是适用的32【做一做 11】 已知 sin ，cos ，则
2、 sin 2 等于( )35 45A. B. C. D.75 125 1225 2425【做一做 12】 已知 cos ，则 cos 2 等于( )13A. B. C D.13 23 79 79【做一做 13】 已知 tan 3，则 tan 2 等于( )A6 B C D.34 38 98答案：2sin cos 2cos 21 12sin 2 2tan 1 tan2【做一做 11】 D sin 22sin cos .2425【做一做 12】 C cos 22cos 21 1 .29 79【做一做 13】 B tan 2 .2tan 1 tan2 231 32 34倍角公式的变形公式剖析：(1)
3、公式的逆用：2sin cos sin 2；sin cos sin 2；12cos ；sin 22sin cos2sin 2cos 2；tan 2.2tan 1 tan2(2)公式的有关变形：1sin 2sin 2cos 22sin cos (sin cos )2；1cos 2 2cos 2；1cos 22sin 2；cos2 ；sin 2 .1 cos 22 1 cos 22(3)升幂和降幂公式升幂公式：1sin 2；(sin2 cos2)1sin 2；(sin2 cos2)1cos 2cos 2 ；1cos 2sin 2 .2 2降幂公式：cos2 ；sin 2 .1 cos 22 1 co
4、s 22题型一 利用二倍角公式求值【例 1】 求下列各式的值：(1)cos cos ；5 25(2) cos 2 ；12 8(3)tan .12 1tan12分析：第(1)题可根据 是 的 2 倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3)题需将所求的式子25 5变形，逆用二倍角公式化简求值反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决本题中，若要求出 cos ， cos ，cos ，tan 的值，则会使问题复杂化5 25 8 12题型二 知值求值【例 2】 已知 sin ， ，求 sin 2，cos 2， tan 2 的值513 (2，)分析：利用同角三角函数的基本关系
5、求出 cos 的值，然后利用二倍角公式求出 sin 2，cos 2 ，进而求出 tan 2 的值反思：已知 的某个三角函数值，求 sin 2，cos 2，tan 2 值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出 的其他三角函数值；(2)代入 S2，C 2，T 2计算即可题型三 二倍角公式在三角形中的应用【例 3】 在ABC 中，cos B ，tan C ，求 tan(B2C)的值35 12分析：求出 tan B 和 tan 2C 的值，再用和角的正切公式求值反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，)本题若忽视这一点，则易错得 sin B .45题型四 易错辨析【例 4】
6、 化简 (34)2 2 2 2cos 错解：原式2 2 4cos22 2 2 2cos2 2 4cos24 2sin .2 2cos4 4sin28 8错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式反思：利用二倍角公式化简 时，由于 1cos 2cos 2 ，1cos 2sin 2 ，1cos 2 2则 ， ，要根据 所在象限确定 sin ，cos 的符号，从1 cos 2|cos2| 1 cos 2|sin2| 2 2 2而去掉绝对值符号答案：【例 1】 解：(1)原式 2sin5cos5cos252sin5sin25cos252sin
7、5 .sin454sin5sin54sin5 14(2)原式 1 2cos2822cos28 12 cos .12 4 24(3)原式 2tan212 1tan121 tan2122tan122 2 .1tan6 233 3【例 2】 解：sin ， ，513 (2，)cos .1 sin21 (513)2 1213sin 22sin cos 2 ，513 ( 1213) 120169cos 212sin 212 2 ，(513) 119169tan 2 .sin 2cos 2 120169 169119 120119【例 3】 解：0B ，sin B .1 cos2B45tan B .sin
8、 Bcos B 43又 tan 2C ，2tan C1 tan2C2121 14 43tan(B2C )tan B tan 2C1 tan Btan 2C .43 431 4343 247【例 4】 正解：因为 34，所以 2， ， ，则32 2 34 4 38 8 2cos 0，cos 0，cos 0.2 4 8所以原式2 2 4cos222 2 2cos2 2 4cos24 2 2cos4 2cos .4cos28 81 sin 215的值是( )A. B. C. D.6462432342已知 为第二象限角，且 sin ，则 sin 2_.13 _.2tan814在ABC 中，cos A ，则 sin 2A_.5135已知 cos ， ，求 sin 2，cos 2，tan 2 的值,答案：1D 原式 .12cos(15)cos3042 由于 为第二象限角，则 cos ，则 sin 49 21sin322sin cos .23. 原式 122tan81t8 .tan44. 0A ，sin A .16921cos3sin 2A2sin Acos A .20695解：cos ， ，123,sin .2cos2135sin 22sin cos 2 ，5069cos 212sin 212 ，231tan 2 .sinco09
