1、备课资料一、|a b|a|b|的应用若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|ab| a|b|的坐标表示为 x1x2+y1y2(x12+y12)(x22+y22).121 )(yxyx不等式(x 1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a1b1+a2b2+anbn)2(a1+a2+an)(b1+b2+bn).例 1 已知实数 x,y 满足 x+y-4=0,则 x2+y2 的最小值是_;(2)已知实数 x,y 满足(x+2) 2+y2=1,则 2x-y 的最大值是_.解析:(1) 令 m=(x,
2、y),n=(1,1).|mn|m|n|,|x+y| ,2yx即 2(x2+y2)(x+y)2=16.x2+y28,故 x2+y2 的最小值是 8.(2)令 m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.由|m n|m|n|,得|2(x+2)-y| 5|4|,5)(2ty即解得 .故所求的最大值是 -4.454t答案:(1)8 (2) -4例 2 已知 a,bR,(0, ),试比较 与(a+b) 2 的大小.222sincoba解:构造向量 m=( ),n=(cos,sin),由| mn|m|n|得si,cob( )2( )(cos2+sin2),inscoa2sicba(a+b)2 .s
3、ib同类变式:已知 a,bR,m,nR,且 mn0,m2n2a2m2+b2n2,令 M= ,比较baNn,2M、N 的大小.解:构造向量 p=( ),q=(n,m),由|p q|p|q|得mbna,( )2( )(m2+n2)= (m2+n2)N.例 3 设 a,bR,A=(x,y)|x=n,y=na+b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ,C=(x,y)|x2+y2144是直角坐标平面 xOy 内的点集,讨论是否存在 a 和 b,使得 AB= 与(a,b)C 能同时成立 .解:此问题等价于探求 a、b 是否存在的问题,它满足 )2.(14,532ban设存在 a 和 b 满
4、足 两式,构造向量 m=(a,b),n=(n,1).由|m n|2|m|2|n|2 得(na+b) 2(n2+1)(a2+b2),(3n2+15)2144(n2+1) n4-6n2+90.解得 n= ,这与 nZ 矛盾,故不存在 a 和 b 满足条件.3二、备用习题1.若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 ab= ,则 x 等于（ ）34A.3 B. C. D.-31312.设 a=(1,2),b=(1,m),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 m 的取值范围是（ ）A.m B.m D.m2122213.若 a=(cos,sin),b=(cos,sin),则（ ）A.ab B.ab C.(
5、a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)4.与 a=(u,v)垂直的单位向量是（ ）A.( )22,vuvB.( )22,vC.( )22,uD.( )或 ( )22,v 22,vuv5.已知向量 a=(cos23,cos67),b=(cos68,cos22),u=a+tb(tR),求 u 的模的最小值.6.已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4 b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.7.已知ABC 的三个顶点为 A(1,1),B(3,1),C(4,5),求 ABC 的面积.参考答案:1.C 2.D 3.C 4.D5.|a|= =1,同理有|b|
6、=1. 23sinco67cs23os22又 ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=|u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=t2+ t+1=(t+ )2+ .1当 t= 时,|u| min= .26.由已知(a+3 b)(7a-5b) (a+3b）(7a-5 b)=0 7a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b) (a-4b)(7a-2b)=0 7a2-30ab+8b2=0. -得 46ab=23b2,即 ab= .|2将代入 ,可得 7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a| 2=|b|
7、2,有|a|=| b|,若记 a 与 b 的夹角为 ,则 cos= .1|又 0,180,=60,即 a 与 b 的夹角为 60.7.分析:S ABC= | | |sinBAC,而| |,| |易求,要求 sinBAC 可先求出 cosBAC.21ABCABC解: =(2,1), =(3,4),| |=2,| |=5,cosBAC= .sinBAC= .53240| AB54SABC= | | |sinBAC= 25 =4.21C1三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化;学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化;教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.(设计者：房增凤)
