1、数列知识总结一要点提示:1.数列的定义:按一定次序排列的一列数 数列是定义在正整数集或其有限子集1，2，3， n上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值数列的分类：递增数列:对于任何 Nn,均有 na1.递减数列:对于任何Nn,均有 na1.摆动数列:例如: .,常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数 M使 an,.无界数列:对于任何正数 M,总有项 使得 n.a2.数列的通项公式和前 n 项和:对于任意数列 ,其通项 an和它的前 n 项和 之间的n nS关系是: ,1nnSa*),2(N3.求数列通项公式的方法:观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式
2、an ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一利用通项 和它的前 n 项和 之间的关系（详见后面）; nanS公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解已知递推公式:迭加,迭乘,待定系数法等（详见后面） 4.证明一个数列是等差数列,常用的两种基本方法:定义法： dan1（Nn， d是常数） 是等差数列；中项法： 212na( N)na是等差数列；a证明一个数列是等比数列,常用的两种基本方法:定义法：qan1（ ，0q是常数） 是等比数列；中项法： 221na( N)且 0nna是等比数列.na(注意:通项的特点与前 n 项和的特点只用于判断，不用于证明其为等差数列)5.等差数列的性质:(1)
3、数列 为等差数列，na mnaamn d-， 或）（则(2)数列 为等差数列的充要条件是:其通项公式可以写成 (a,b 为实常数)n b*(3)数列 为等差数列的充要条件 ,推广 (nk0)na 12nnaknna2(4)数列 为等差数列:若 ,则qpmqpm(5)数列 为等差数列,去掉前 m 项,剩下的项构成等差数列na推广：数列 为等差数列,则每隔 k 项取 m 项的和仍构成等差数列 (6)数列 是公差为 d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为 2d 的等差数列na推广:数列 为公差为 d 等差数列:则在数列中每隔 项取一项构成的数列 a1 k,ak+2 ,a2k+3 ,a3k+4 ,
4、是公差为 的等差数列d)1(推广:数列 是公差为 d 的等差数列,则项下标成等差数列（公差为 k）的项也成等na差数列（公差为 kd）(7)数列 , 项数相同的等差数列 :则 , , 为nbmnkanqbpm,(qpa常数)仍为等差数列(8)数列 为等差数列,其前 n 项和 可以写成nanS为 常 数 ）n,(2(9)数列 为等差数列:则数列中依次每连续 m 项之和构成的数列（即 ）为等差数列，公差 ；(10)数列 为等差数列: 表示奇数项的和, 表示偶数项的和,na奇S偶S若项数为 2n 项时, 则有 = nd, / = an/an+1;奇 偶 奇 偶若项数为 2n-1 项时,则有 = an
5、 , / = n/(n1),奇S偶 奇S偶 nnaS)12(1（11）若等差数列 的前 n项和 n，则 n（即 ）为等差数列，公a差为 . 6.等比数列的性质:(1)数列 为等比数列:na mnnmnn aqaa 21,(2)数列 为等比数列: ,推广 (nm0)na12nnamnna2(3)数列 为等比数列: ,则kpmkpm(4)数列 为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列na推广：数列 为等比数列,则每隔 k 项取 m 项的和(积)仍构成等比数列(5)数列 为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列na推广:数列 为公比为 q 等比数列:则在数列中每隔 项取一项构成的数列是公比为k
6、的等比数列1kq推广:数列 为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列na(6)数列 , 为项数相同（可以都是无穷数列）的等比数列:则 , , ,b 1nabnka, 为常数)等仍为等比数列nak(7)数列 为公比为 q(q1)的等比数列:则数列中连续 项之和(积)构成的数列是等k比数列(8)数列 为等比数列: ( 表示奇数项的和, 表示偶数项的和)na奇S偶S若项数为 项时,则有 / = q;2偶 奇若项数为 1 项时,则有( )/ = qn奇S1a偶(9)递推公式为 的递推数列 ,都可以转化为)(pqan na从而构造等比数列11nnqp7.等差数列与等比数列比较:8.等差数列与等比数列的
7、关系:(1)各项为正的等比数列 ,其对数数列 为等差数列na)1,0(logana(2)数列 为等差数列,则数列 为正常数)为等比数列naCna(9 数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解):倒序求和法:(等差数列的求和);错位相减法:适用于差比数列（如果 等差， 等比，则 叫做差比数列）nanbnab例 1:求和: *)(432Na裂项相消法:适用于数列 和 （其中 等差）。可裂项为：1n1nana，11()nnada 11()nnnd;（小技巧：消项前把加项写在一起，把减项放在一起，便于看出消项的规律）例 2:求和: )2(753例 3:求数列 的前 n 项和1n通项化归法:(化出通项,
8、由通项确定求和方法，一般可以裂项);例 4:求数列: 的前 n 项和 ,321,32, nS公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解)分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用等差数列及或等比数列的求和公式来求名称 等差数列 等比数列定义 an+1a n=d 为等差数na列为等比数列)0(1qanna通项公式an = a1( n1) d = am( n m)d an= a1qn1 = amqn m前 n 项和公式2S1.11,1qSnnn中项a， A， b 成等差数列，或 2A=a ba， G， b，成等比数列，或 G2=ab解);例 5:求数列 的前 n 项之和 ,21,84,1
9、32, n求和记号法用 = nka1 na32已知： ,2)1(,6)12(,)1( i3i21i nnnn注：(利用恒等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1 证明 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 ） ： (n+1)3-n3=3n2+3n+1, n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 33-23=3*(22)+3*2+1 23-13=3*(12)+3*1+1. 把这 n 个等式两端分别相加，得： (n+1)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+.+n)+n, 由于 1+2+3+.+n=(n+1)n/2, 代入上式得： n3+3n2+3n=3
10、(12+22+32+n2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 例 7: 若 , 对 nN 恒成立,)(12)(4321 22 cbnann求 a,b,c 的值 补充：等差数列前 项和的最值问题：n1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。a100dnnS（）若已知通项 ，则 最大 ；nnS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最大；2npq2qpnS2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na100dnn（）若已知通项 ，则 最小 ；nanS10na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最
11、小；2npq2qpnS根据递推公式求通项：1、构造法：1已知 ，递推关系形如“ ”；它们都可以转化为的 值1a )1(1qann从而构造等比数列1nnqqp【例题】已知数列 中， 32,1nnaa，求数列 的通项公式.n na2已知 ，递推关系形如“ ，两边同除 都可以的 值1a )1(pq1np转化为 从而迭加，利用等比数列前 n 项和公式求解)1(p1pqnn【例题】 nnaa32,11，求数列 的通项公式.na3数列 中，已知 ，递推关系形如“ nnnaqp12”， 的 值,利用待定系数法求解，就是设待定系数 m，n，把关系式化为，根据 naqpa12得出 m,r 的值，易知)(r112
12、nnnmaa是等比数列，从而可得 ，将问题转化为类1 121-nnr）（型 2；或者用特征根法求解，递推公式为 其特征方程为,11nnqapa，022 qpxqpx即若方程有两相异根 、 ，则 ；1s2nnsca21若方程有两等根 ，则 .)(其中 、 可由初始条件确定。1c2【例题】已知数列 中， nnaaa23,2,11，求数列 的通n na项公式.4递推关系形如“ ,两边同除以 ，从而可以转11npq（ p0)1化为类型一，求出 ，进而求出na【例题】已知数列 中， ，求数列 的通1122nna1（ ),ana项公式.【例题】数列 n中， (4,11 Nnn，求数列 n的通项公式.2、迭
13、代法（迭加法或迭乘法）：a、已知关系式 )(1fan，可利用迭加法或迭代法； 123221 )()( annnn 【例题】已知数列 中， ,11 na，求数列 的通项公n式 b、已知关系式 )(1fan，可利用迭乘法.12321ann【例题】已知数列 满足： ，求求数列 的通项公11(2),naana式；3、给出关于 和 的关系；（利用 ,nS21na和或 1nnS求解）*),2(1Nn【例题】设数列 的前 项和为 nS，已知 )(3,11 Nann，设nnnSb3，求数列 的通项公式典型例题：A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）【例题】已知 nS为等差数列
14、 的前 n项和， 63,94nSa，求 ；a2）根据数列的性质求解（整体思想）【例题】已知 为等比数列 前 项和， 5nS， 02，则 3 .nB、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差【例题】已知 nS为等差数列 的前 n项和， )(NnSbn.求证：数列anb是等差数列.2）证明数列等比【例题】数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列c n是等比数列；D、求数列的前 n 项和【例题 1】求数列 的前 项和 n.（拆项求和法）23【例题 2】求和：S=1+ （裂项相消法）n 32121【例题 3】设 2)(xf，求： )4(3)()(14 fff ； .20192)(132091201 ffffff （ 倒序相加法 ）【例题 4】若数列 na的通项 nn)12(，求此数列的前 n项和 nS.（错位相减法）【例题 5】已知数列a n的前 n 项和 Sn=12nn 2，求数列|a n|的前 n 项和Tn.（利用二次函数图像的性质求解）E、数列单调性最值问题【例题】数列 中， 492an，当数列 的前 项和 nS取得最小值时 nn na的值
