1、人教版必修四2. 2.3 向量数乘运算及其几何意义（结）命题方向 1 向量的数乘运算若 3m2na，m 3n b，其中 a、b 是已知向量，求 m、n.分析 把已知条件看作向量 m、n 的方程，联立方程组求得 m、n.解析 把已知中的两等式看做关于 m、n 的方程，联立方程组Error!解得Error!规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同命题方向 2 向量共线定理的应用已知两个非零向量 e1、e 2 不共线，若 2e13e 2， 6e 123 e2， 4e 18e 2.求证：A、 B、D 三点共
2、线AB BC CD 分析 证明 B AD AB C CD 2e 13e 26e 123e 24e 18e 212e 118e 26(2e 13e 2)6A ，B .AD AB 又AD 和 AB 有公共点 A，A、B、D 三点共线规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数 ，使得b a(a、b 为这三点构成的其中任意两个向量) 证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线命题方向 3 向量在平面几何中的探究应用平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由解析 已知在ABCD 中，F 为 DC 的中点，
3、E 为 AF 与 BD 的交点，求证：E 为 BD的一个三等分点证明：如图，设实数 、 满足 ， .AE AF BE BD ，AE AB BE AB BD .AF AB BD ，BD AD AB ，AF AD DF AD 12DC AD 12AB ( ) ( )AD 12AB AB AD AB () (1 ) .AD 12 AB 与 不共线，AB AD Error!，Error! .BE BD 23BD E 为 BD(靠近 D)的一个三等分点同理可证，C 与 AB 中点的连线和 BD 的交点也为 BD(靠近 B)的一个三等分点综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条
4、对角线规律总结：在上述证明过程中，由 与 不共线及( ) (1 ) ，知AB AD AD 12 AB 必有( ) (1 ) 0，进而得到关于 与 的方程组通过本例，应掌握利用AD 12 AB 向量共线的条件解题的方法命题方向 4 共线向量与三点共线问题设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ab， 2a8b， 3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 与 akb 共线分析 (1)欲证三点 A、B、D 共线，即证存在实数 ，使 ，只要由已知条件AB BD 找出 即可(2)由两向量共线，列出关于 a、b 的等式，再由 a 与 b 不共线知，若 a b，则0.解析 证明：(1) ab， 2a8b，AB BC 3(ab)CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5 .AB 、 共线，AB BD 又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab(a k b)即 kabakb，(k)a( k1) b，a、b 是不共线的两个非零向量，kk10，k 21 0.k 1.
