1、人教版必修四2. 5 平面向量应用举例（练）一、选择题1一物体受到相互垂直的两个力 f1、f 2 的作用，两力大小都为 5 N，则两个力的合3力的大小为( )A10 N B0N 3C5 N D. N6562答案 C解析 根据向量加法的平行四边形法则，合力 f 的大小为 5 5 (N)2 3 62河水的流速为 2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A10m/s B2 m/s26C4 m/s D12m/s6答案 B解析 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| 2， |v|10 ，v v 1.v 2
2、vv 1， vv10，|v 2| v2 2vv1 v21 100 0 4 2 .104 263(2010山东日照一中)已知向量 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，若|a|2， |b|3， ab6，则 的值为( )x1 y1x2 y2A. B23 23C. D56 56答案 B解析 因为|a|2，| b|3，又 ab|a|b|cosa，b2 3cosa，b6，可得 cos a，b1.即 a，b 为共线向量且反向，又|a| 2，| b|3，所以有 3(x1，y 1)2(x 2，y 2) x1 x2，y 1 y2，所以 ，从而选 B.23 23 x1 y1x2 y2 23(x2 y2)x2
3、 y2 234已知一物体在共点力 F1 (lg2，lg2) ，F 2(lg5，lg2)的作用下产生位移 S(2lg5,1) ，则共点力对物体做的功 W 为 ( )Alg2 Blg5C1 D2答案 D解析 W ( F1F 2)S(lg2lg5,2lg2)(2lg5,1)(1,2lg2)(2lg5,1) 2lg5 2lg22，故选 D.5在ABC 所在的平面内有一点 P，满足 ，则PBC 与ABC 的PA PB PC AB 面积之比是( )A. B.13 12C. D.23 34答案 C解析 由 ，得 0，即 2 ，所以点 P 是PA PB PC AB PA PB BA PC PC AP CA 边
4、上的三等分点，如图所示故 .S PBCS ABC PCAC 236点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v(4 ，3)，设开始时点 P 的坐标为(10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位：m/s，长度单位：m)( )A(2,4) B(30,25)C(10，5) D(5，10)答案 C解析 5 秒后点 P 的坐标为：(10,10)5(4，3)(10，5)7已知向量 a，e 满足：ae，| e|1，对任意 tR ，恒有 |ate|ae| ，则( )Aae Ba(ae)Ce (ae) D(ae )(ae)答案 C解析 由条件可知|ate |2|ae| 2 对 tR 恒成立，又|e|1，
5、t 22ae t2ae 10 对 tR 恒成立，即 4(a e)28ae40 恒成立(ae1) 20 恒成立，而(ae1) 20，ae10.即 ae 1e 2，e (ae )0，即 e(ae)8已知| | 1，| | ， ，点 C 在AOB 内，AOC30，设OA OB 3 OA OB m n ，则 ( )OC OA OB mnA. B313C3 D.3332答案 B解析 m| |2n m，OC OA OA OA OB m n| |2 3n，OC OB OA OB OB 1， 3.m3n |OC |OA |cos30|OC |OB |cos60 mn二、填空题9已知 a(1,2)，b(1,1)
6、 ，且 a 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_答案 且 053解析 a 与 ab 均不是零向量，夹角为锐角，a(ab)0，53 0， .53当 a 与 ab 同向时， a bm a(m0)，即(1，2 )(m,2m)Error! ，得Error!， 且 0.5310已知直线 axby c 0 与圆 O：x 2y 24 相交于 A、B 两点，且|AB| 2 ，则3 _.OA OB 答案 2解析 |AB|2 ，|OA|OB|2，3AOB120. | | |cos1202.OA OB OA OB 三、解答题11已知ABC 是直角三角形，CA CB ，D 是 CB 的中点， E 是 AB
7、上的一点，且AE 2EB.求证：ADCE.证明 以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设 ACa，则 A(a,0)，B(0，a) ，D ，C (0,0)，E .(0，a2) (13a，23a) ， .AD ( a，a2) CE (13a，23a) a a a0，ADCE.AD CE 13 a22312ABC 是等腰直角三角形，B90，D 是 BC 边的中点，BEAD，垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，连结 DF，求证：ADB FDC.证明 如图，以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 A(0,2)，C(2,0)，则 D(1,0)， (2，2)
8、AC 设 ，AF AC 则 (0,2) (2 ，2)(2，22)，BF BA AF 又 ( 1,2)DA 由题设 ， 0，BF DA BF DA 22(22 )0， .23 ， ，BF (43，23) DF BF BD (13，23)又 (1,0)，DC cosADB ，DA DB |DA |DB | 55cosFDC ，DF DC |DF |DC | 55又ADB、FDC(0 ，)，ADBFDC.13(2010江苏，15)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t
9、) 0，求 t 的值AB OC OC 解析 (1)由题设知 (3,5)， (1,1)，则 (2,6)， (4,4)AB AC AB AC AB AC 所以| | 2 ，| |4 .AB AC 10 AB AC 2故所求的两条对角线长分别为 4 和 2 .2 10(2)由题设知 ( 2，1)， t (32t,5t)OC AB OC 由( t ) 0，得(3 2t,5t)( 2，1) 0，从而 5t11，所以 t .AB OC OC 11514一条宽为 km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A、B ，已知 AB3km，船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头
10、怎样安排航行速度可使它最3快到达彼岸 B 码头？用时多少？解析 如图所示，设 为水流速度， 为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作ACEDAC AD 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸根据题意 ACAE，在 RtADE 和ACED 中，| | |2，| |4，AED90.DE AC AD | | 2 ，AE |AD |2 |DE |2 3sinEAD ， EAD30，用时 0.5h.12答：船实际航行速度大小为 4km/h，与水流成 120角时能最快到达 B 码头，用时半小时15在ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN BD，求证：13M，N ，C 三
11、点共线证明 .MN BN BM 因为 ， ( )，BM 12BA BN 13BD 13BA BC 所以 ，MN 13BA 13BC 12BA .13BC 16BA 由于 ，MC BC BM BC 12BA 可知 3 ，即 .MC MN MC MN 又因为 MC、MN 有公共点 M，所以 M、N 、C 三点共线16如图所示，正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明 PA EF.分析 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出 和 的坐标，证明其模相等即可PA EF 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长
12、为a，则 A(0，a)设 | |( 0)，则 F ，P ，E ，DP ( 22，0) ( 22，22) (a，22)所以 ， ，EF ( 22 a， 22) PA ( 22，a 22)因为| |2 2 aa 2，| |2 2 aa 2，所以| | |，EF 2 PA 2 EF PA 即 PAEF.17如图所示，在ABC 中，ABAC ，D 是 BC 的中点，DEAC，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证 AFBE.证明 ABAC，且 D 是 BC 的中点， ， 0.AD BC AD BD 又 ， 0.DE AC DE AE ，F 是 DE 的中点，BD DC .EF 12DE ( )( )AF BE AE EF BD DE AE BD AE DE EF BD EF DE AE BD EF BD EF DE ( ) AD DE BD EF BD EF DE AD BD DE BD EF BD EF DE DE DC 12DE DC 12DE DE 12DE DC 12DE DE ( ) 0.12DE DC DE 12DE EC ，AFBE .AF BE
