1、微型专题 6 带电粒子在磁场或复合场中的运动课时要求 1.掌握带电粒子在磁场中运动问题的分析方法，会分析带电粒子在有界磁场中的运动.2.会分析带电粒子在复合场中的运动问题一、带电粒子在有界磁场中的运动1带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图 1 所示)图 1(2)平行边界(存在临界条件，如图 2 所示)图 2(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图 3 所示)图 32带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子在有界磁场中运动，往往出现临界条件，要注意找临界条件并挖掘隐含条件例 1 如图 4 所示，直线 MN 上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为
2、 B 的匀强磁场，质量为 m、电荷量为q(q0)的粒子 1 在纸面内以速度 v1v 0 从 O 点射入磁场，其方向与 MN的夹角 30；质量为 m、电荷量为q 的粒子 2 在纸面内以速度 v2 v0 也从 O 点射入3磁场，其方向与 MN 的夹角 60. 已知粒子 1、2 同时到达磁场边界的 A、B 两点( 图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用图 4(1)求两粒子在磁场边界上的穿出点 A、B 之间的距离 d.(2)求两粒子进入磁场的时间间隔 t.答案 (1) (2)4mv0qB m3qB解析 (1)两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，由牛顿第二定律得qvBmv2r得 r1
3、 ，r 2mv0qB 3mv0qB故 d 2r 1sin 302r 2sin 60 .OA OB4mv0qB(2)粒子 1 做匀速圆周运动的圆心角 153粒子 2 做匀速圆周运动的圆心角 243粒子做匀速圆周运动的周期 T 2rv 2mqB粒子 1 在匀强磁场中运动的时间 t1 T12粒子 2 在匀强磁场中运动的时间 t2 T22所以 tt 1t 2m3qB例 2 (2017 2018 学年嵊州中学高二(上) 期末)如图 5 所示为一金属筒的横截面，该圆筒的半径为 R，内有匀强磁场，方向为垂直纸面向里，磁感应强度为 B，在相互平行的水平金属板AA和 CC之间有匀强电场，一个质量为 m(重力不计
4、)、带电荷量为 q 的粒子，在电场力的作用下，沿图示方向从 P 点无初速度运动经电场加速进入圆筒内，在筒内它的速度方向偏转了 60，求：图 5(1)该粒子带何种电荷？(2)粒子在筒内运动的时间(3)两金属板间的加速电压答案 (1)负电荷 (2) (3)m3Bq 3qB2R22m解析 (1)粒子向右偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷(2)粒子在磁场中运动，设粒子在筒中的速度为 v，由牛顿第二定律有 Bqv ，得mv2rr ，周期：T ，筒中运动时间 t .mvqB 2rv 2mqB T6 m3Bq(3)由几何关系得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 r Rtan 60 R3设两金属板间加速电压为
5、U，由动能定理得 qU mv2，解得 U .12 3qB2R22m二、带电粒子在组合场中的运动带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动(1)在电场中运动：若初速度 v0 与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；若初速度 v0 与电场线垂直，粒子做类平抛运动(2)在磁场中运动：若初速度 v0 与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；若初速度 v0 与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动(3)解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识
6、如下：例 3 平面直角坐标系 xOy 中，第 象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，如图 6 所示一带负电的粒子从电场中的 Q 点以速度 v0 沿 x 轴正方向开始运动Q 点到 y 轴的距离为到 x 轴距离的 2 倍粒子从坐标原点 O 离开电场进入磁场，最终从 x 轴上的 P 点射出磁场，P 点到 y 轴距离与 Q 点到 y 轴距离相等不计粒子重力，问：图 6(1)粒子到达 O 点时速度的大小和方向；(2)电场强度和磁感应强度的大小之比答案 (1) v0 方向与 x 轴正方向成 45角斜向上 (2)2v02解析 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设 Q 点到 x
7、 轴距离为 L，到 y 轴距离为 2L，粒子的加速度为 a，运动时间为 t，有2Lv 0tL at212设粒子到达 O 点时沿 y 轴方向的分速度为 vyvyat设粒子到达 O 点时速度方向与 x 轴正方向夹角为 ，有tan vyv0联立式得 45即粒子到达 O 点时速度方向与 x 轴正方向成 45角斜向上设粒子到达 O 点时速度大小为 v，由运动的合成有v v02 vy2联立式得 v v02(2)设电场强度为 E，粒子电荷量为 q，质量为 m，粒子在电场中受到的电场力为 F，由牛顿第二定律可得Fma又 FqE设磁场的磁感应强度大小为 B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，所受的洛伦兹力
8、提供向心力，有qvBm v2R由几何关系可知 R L2联立式得 EB v02三、带电粒子在叠加场中的运动带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况：(1)直线运动：如果带电粒子在叠加场中做直线运动，一定是做匀速直线运动，合力为零(2)圆周运动：如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，一定是做匀速圆周运动，重力和电场力的合力为零，洛伦兹力提供向心力例 4 如图 7 所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场匀强磁场的磁感应强度为 B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为 m、带电荷量为q 的带电微粒在此区域恰好做速度大小为 v 的匀速圆周运动(重力加速度为 g)图 7(1)求此区域内电场强
9、度的大小和方向；(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为 H 的 P 点，速度与水平方向成 45角，如图所示则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到距地面最高点？最高点距地面多高？答案 (1) 方向竖直向下mgq(2) H3m4qB 2 2mv2qB解析 (1) 要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则：qEmg，得 E ，方向竖直向下mgq(2)如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，135，则 t T135360 3T8T2mqB所以：t3m4qB因微粒做匀速圆周运动，qvBm ，v2R则 R ，故最高点距地面的高度为：mvqBH1RR sin 45HH .2 2mv2qB1(圆周运动的临界问题)如
10、图 8 所示，比荷为 的电子垂直射入宽度为 d、磁感应强度为 Bem的范围足够大的匀强磁场区域，则电子能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为( )图 8A. B.2eBdm eBdmC. D.eBd2m 2eBdm答案 B2.(圆形磁场边界问题)(2018长兴、德清、安吉期中考试)如图 9 所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度 v 从 B 点沿直径 BOA 方向射入磁场，经过 t 时间从 C 点射出磁场，OC 与 OB 成 60角现将带电粒子的速度变为 3v，仍从 B 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )图 9A. t B. t1
11、3 12C. t Dt34答案 B解析 设圆形磁场的半径为 R，粒子速度为 v 时，做圆周运动的半径为 r1，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系知，圆心角 1120，r 1 ，由 r 知，若粒子速度变为 3v，则 r23r 13R3 mvqBR，此时设粒子做圆周运动的圆心角为 2，则 tan ，得 260. 由 t T，速322 Rr2 33 2度变为 3v 后粒子运动时间为 ，选项 B 正确t23(带电粒子在叠加场中的运动) 如图 10，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒 a、b、c 电荷量相等，质量分别为 ma、m b、
12、m c，已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动， b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动下列选项正确的是( )图 10Am am bm c Bm bm am cCm cm am b Dm cm bm a答案 B解析 设三个微粒的电荷量均为 q，a 在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，即magqEb 在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则mbgqEqvBc 在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则mcg qvBqE比较式得：m bmamc，选项 B 正确4(带电粒子在组合场中的运动) 在平面直角坐标系 xOy 中，第象限存在沿 y 轴负
13、方向的匀强电场，第象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v0 垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成 60角射入磁场，最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场，如图 11 所示不计粒子重力，求：图 11(1)M、N 两点间的电势差 UMN；(2)粒子在磁场中运动的轨道半径 r；(3)粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t. 答案 (1) (2) (3)3mv022q 2mv0qB 33 2m3qB解析 (1)设粒子过 N 点时的速度为 v，有 cos v0v
14、故 v2v 0粒子从 M 点运动到 N 点的过程，由动能定理得qUMN mv2 mv12 12 02解得 UMN .3mv022q(2)过点 N 作 v 的垂线，与 y 轴交点为 O，如图所示，粒子在磁场中以 O为圆心做匀速圆周运动，半径为 O N，有 qvBmv2r解得 r .2mv0qB(3)由几何关系得 ONrsin 设粒子在电场中运动的时间为 t1，有 ONv 0t1解得 t13mqB粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T2mqB设粒子在磁场中运动的时间为 t2，有 t2 T180 360 2m3qB所以 tt 1t 2 .33 2m3qB一、选择题考点一 带电粒子在有界磁场中的运动1如
15、图 1 所示，正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有两个质子从 A 点沿 AB 方向垂直进入磁场，质子 1 从顶点 C 射出，质子 2 从顶点 D 射出，设质子 1 的速率为 v1，在磁场中的运动时间为 t1，轨迹半径为 R1，质子 2 的速率为 v2，在磁场中的运动时间为 t2，轨迹半径为 R2，则( )图 1AR 1R 21 2 Bv 1v 212Cv 1v 221 Dt 1t 221答案 C解析 由题图可知质子 1 的半径为正方形的边长 L，质子 2 的半径为 ，R 1R 221，AL2错误；根据洛伦兹力充当向心力可得：Bqvm ，v ，故速度之比等于半径之比，故v2R BqRmv1
16、v 221，故 B 错误，C 正确；由 T 可知，两质子的周期相同，但由题图可知，2mBq质子 1 转过的圆心角为 90，而质子 2 转过的圆心角为 180，则可知，所用时间之比等于转过的圆心角之比，故 t1t 290180 12，故 D 错误2.如图 2 所示，直线 MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子 1 从磁场边界上的 a 点垂直MN 和磁场方向射入磁场，经 t1 时间从 b 点离开磁场之后电子 2 也由 a 点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t2 时间从 a、b 连线的中点 c 离开磁场，则 为( )t1t2图 2A. B2 C. D323 32答案 D解析 粒子在磁
17、场中都做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示：电子 1 垂直射进磁场，从 b 点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c 点为圆心，电子 2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t2时间从 a、b 连线的中点 c 离开磁场，根据半径公式 r 可知，电子 1 和 2 的半径相等，根据几何关系可知，aOc 为等边三角形，则电子mvBq2 转过的圆心角为 60，所以电子 1 运动的时间为 t1 ，T2 mBq电子 2 运动的时间为 t2 ，T6 m3Bq所以 3.t1t23如图 3 所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与 x 轴成 30角从原点射入
18、磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为( )图 3A12 B21C1 D113答案 B解析 如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限内的匀强磁场中的运动轨迹由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为 120，运动时间为 t1 ，其中 T1为正电子运T13动的周期，由 T 及 qvB 知 T1 ；同理，负电子在磁场中运动的周期 T2T 12rv mv2r 2meB，但由几何关系知负电子在磁场中转过的圆心角为 60，故在磁场中运动的时间 t2 .2meB T26所以正、负电子在磁场中运动的时间之比为 ，故 B 选项正确t1t2T13T26 214.(多选) 如图 4 所示，分布在半径为 r 的圆形区
19、域内的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子从磁场边缘 A 点沿圆的半径 AO 方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了 60角(不计粒子的重力 )则( )图 4A粒子做圆周运动的半径为 r3B粒子的入射速度为3BqrmC粒子在磁场中运动的时间为m3qBD粒子在磁场中运动的时间为2mqB答案 ABC解析 设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，如图所示，OOA 30，由图可知，粒子运动的半径 ROA r，选项 A 正确；3根据牛顿运动定律， 有：Bqv mv2R得：vqBRm故粒子的入射速度 v ，选项 B 正确；由几何关系可知，粒子运动轨
20、迹所对应的圆心3Bqrm角为 60，则粒子在磁场中运动的时间 t T ，选项 C 正确，D 错误16 16 2mqB m3qB5.如图 5 所示，正六边形 abcdef 区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场一带正电的粒子从 f点沿 fd 方向射入磁场区域，当速度大小为 vb 时，从 b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为 vc 时，从 c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tc，不计粒子重力则( )图 5Av bv c12，t bt c21 Bv bv c21，t bt c12Cv bv c21，t bt c21 Dv bv c12，t bt c12答案 A解析 带正电粒子在匀强磁
21、场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，r c2r b， b120， c60，由 qvBm 得，v ，则v2r qBrmvbv c rbr c12, 又由 T ，t T 和 b2 c得 tbt c21，故选项 A 正确，2mqB 2B、C、D 错误6如图 6 所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，区域宽度为 d，边界为 CD 和 EF，速度为 v 的电子从边界 CD 外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟 CD 的夹角为 ，已知电子的质量为 m、带电荷量为 e，为使电子能从另一边界EF 射出，电子的速率应满足的条件是( )图 6
22、Av BvBedm1 cos Bedm1 cos Cv DvBedm1 sin Bedm1 sin 答案 A解析 由题意可知电子从 EF 射出的临界条件为到达边界 EF 时，速度与 EF 平行，轨迹与EF 相切，如图所示由几何知识得RRcos d，R ，解得 v0 ，当 vv 0时，即能从 EF 射出mv0eB Bedm1 cos 考点二 带电粒子在叠加场中的运动7(多选) 一个带电微粒在如图 7 所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略，已知轨迹圆的半径为 r，电场强度的大小为 E，磁感应强度的大小为 B，重力加速度为 g，则( )图 7A该微粒带正电B带电微粒
23、沿逆时针旋转C带电微粒沿顺时针旋转D微粒做圆周运动的速度为gBrE答案 BD解析 带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知该微粒带负电，A 错误；磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针，B 正确，C 错误；由微粒做匀速圆周运动，知电场力和重力大小相等，得：mgqE带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为： r mvqB联立得：v ，D 正确gBrE8.如图 8 所示，竖直平面内，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一
24、质量为 m、带电荷量为 q 的粒子以速度 v 与磁场方向垂直，与电场方向成 45角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，则关于电场强度 E 和磁感应强度 B 的大小，正确的是(重力加速度为g)( )图 8AE ，B BE ，Bmgq 2mgqv 2mgq mgqvCE ，B DE ，Bmgq mgqv 2mgq 2mgqv答案 A解析 假设粒子带负电，则其所受电场力方向水平向左，洛伦兹力方向斜向右下方与 v 垂直，可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带正电荷，受力情况如图所示根据合外力为零得mgqvBsin 45qEqvB cos 45联立以上两式可得 B ，E .2
25、mgqv mgq考点三 带电粒子在组合场中的运动9(多选) 如图 9 所示，A 板发出的电子 (重力不计)经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板 M、N 间，M、N 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏 P上，关于电子的运动，下列说法中正确的是( )图 9A当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置上升B当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变C若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度大小不变D若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大答案 AC解析 当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场时的初速度增大，向下偏
26、转程度变小，打在荧光屏的位置上升；在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项 A 正确， B 错误；磁感应强度增大，电子在磁场中运动速度大小不变，打在荧光屏上的速度大小不变，选项 C 正确，D 错误10.如图 10 所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B，某带电粒子的比荷(电荷量与质量之比 )大小为 ，由静止开始经电压为 U 的电场加速后，从 O 点垂直射入磁场，又从 P 点穿出磁场下列说法正确的是(不计粒子所受重力)( )图 10A如果只增加 U，粒子可以从 dP 之间某位置穿出磁场B如果只减小 B，粒子可以从 ab 边某位置穿出磁场C如果既减小 U 又增加
27、B，粒子可以从 bc 边某位置穿出磁场D如果只增加 ，粒子可以从 dP 之间某位置穿出磁场答案 D解析 由已知可得 qU mv2， ，r ，解得 r .对于选项 A，只增加 U，r 增12 qm mvqB 2kUkB大，粒子不可能从 dP 之间某位置穿出磁场对于选项 B，粒子电性不变，不可能向上偏转从 ab 边某位置穿出磁场对于选项 C，既减小 U 又增加 B，r 减小，粒子不可能从 bc 边某位置穿出磁场对于选项 D，只增加 ，r 减小，粒子可以从 dP 之间某位置穿出磁场二、非选择题11(带电粒子在组合场中的运动)(2018余姚中学第一学期高二物理测试)在如图 11 所示的直角坐标系 xO
28、y 中，矩形区域 Oabc 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B5.010 2 T；第一象限内有沿y 方向的匀强电场，电场强度大小为 E1.010 5 N/C.已知矩形区域 Oa 边长为 0.60 m，ab 边长为 0.20 m，在 bc 边中点 N 处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场各方向均匀地辐射出速率均为 v2.010 6 m/s 的某种带正电粒子，带电粒子质量 m1.610 27 g，电荷量为 q3.210 19 C，不计粒子重力，求：图 11(1)粒子在磁场中运动的半径；(2)从 x 轴上射出的粒子中，进入电场前在磁场中运动的最短路程为多少？(3)放射源沿x 方向射
29、出的粒子，从射出到从 y 轴离开所用的时间答案 (1)0.20 m (2)0.21 m (3)4.610 7 s解析 (1)粒子运动的轨迹如图，由牛顿第二定律可得：qvBm ，解得 R0.20 m.v2R(2)由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长；由图可知， ，最短的弧长即最短路程 sR m0.21 m.3 15(3)由 qvB ，T 得，粒子在磁场中运动的周期 T s6.2810 7 mv2R 2Rv 2Rv 20.22.0106s粒子在磁场中沿 NP 运动的时间 t1T4粒子在电场中的加速度为 a ，qEmvat 2，解得 t21.010 7 s则可得粒子在电场中往返运动的时间为 2t22
30、.010 7 s由图可知 cos 0.5，故 ，3粒子在磁场中运动的第二部分时间 t3 T ，2 T6粒子运动的总时间tt 12t 2t 34.610 7 s.12(带电粒子在组合场中的运动) 如图 12 所示 xOy 坐标系，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示现有一个质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子在该平面内从 x 轴上的 P 点，以垂直于 x 轴的初速度 v0 进入匀强电场，恰好经过 y 轴上的 Q 点且与 y 轴成 45角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于 x 轴进入第四象限的磁场已知 OP 之间的距离为 d(不计
31、粒子的重力)求：图 12(1)O 点到 Q 点的距离；(2)磁感应强度 B 的大小；(3)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过 x 轴所用的时间答案 (1)2d (2) (3)mv02qd 7 4d2v0解析 (1)设 Q 点的纵坐标为 h，粒子到达 Q 点的水平分速度为 vx，P 到 Q 受到的恒定的电场力与初速度垂直，为类平抛运动，则由类平抛运动的规律可知竖直方向匀速直线运动，hv 0t1水平方向匀加速直线运动的平均速度 ，v0 vx2则 dvxt12根据速度的矢量合成 tan 45 ，解得 h2d.vxv0(2)粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得，粒子在磁场中的运动半径 R2 d2由牛顿第二定律得 qvBm ，解得 Rv2R mvqB由(1)可知 v v0v0cos 45 2联立解得 B .mv02qd(3)在电场中的运动时间为 t12dv0在磁场中，由运动学公式 T2Rv在第一象限中的运动时间为 t2 T T135360 38在第四象限内的运动时间为 t3T2带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过 x 轴所用的时间为 tt 1t 2t 3 .7 4d2v0
