1、课时作业(十三) 三角函数模型的简单应用A 组 基础巩固1. 如图，单摆从某点2015吉 林 长 春 市 高 一 期 末 开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间t(s)的函数关系式为：s 6sin ，那么单摆来回(2t 6)摆动一次所需的时间为( )A2 s B sC0.5 s D1 s解析：单摆来回摆动一次所需的时间为函数s 6sin 的周期(2t 6)又 T 1，所以单摆来回摆动一次所需的时22间为 1 s，故选 D.答案：D2如图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧 的长为 l，弦 AP 的长为 d，
2、则函AP数 df(l )的图象大致是 ( )A BC D解析：由题意，得 df( l)2sin ，故选 C.l2答案：C3设 yf(t) 是某港口水的深度 y(米)关于时间t(时 )的函数，其中 0t24.下表是该港口某一天从0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数 yf( t)的图象可以近似地看成函数 ykAsin( t )的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )Ay123sin t，t0,246By12 3
3、sin ，t0,24(6t )Cy12 3sin t，t0,2412Dy123sin ，t0,24(12t 2)解析：在给定的四个选项 A、B 、C 、D 中，我们不妨代入 t0 及 t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A，故选 A.答案：A4如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( ， )，角速度为 1，那么2 2点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )A BC D解析：P 0( ， )，P 0Ox .按逆时针2 24转时间 t 后得POP 0t ，POxt ，此时 P 点纵4坐标为 2sin ，d2|sin |.(t
4、4) (t 4)当 t0 时，d ，排除 A、D 项；当 t 时，24d0，排除 B 项，故选 C.答案：C5. 据市场调查，某种2015福 建 三 明 市 高 一 月 考 商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)b(A0，0 ，| | )的模型波2动(x 为月份) ，已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( )Af(x ) 2sin 7(1x12 ，xN )(4x 4)Bf(x )9sin (1x 12，x N )(4x 4)Cf(x )2 sin x7(1x12， xN )24Df(x ) 2s
5、in 7(1x12 ，xN )(4x 4)解析：由题意，得 A 2，b 7，9 52 9 52排除 B、 C 项又当 x3 时，f(x) 取得最大值 9，排除 D 项，故选 A.答案：A6某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t0 时，点 A与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A、B 两点的距离d(cm)表示成 t(s)的函数，则 d_ ，其中t0,60解析：将解析式可写为 dAsin(t) 形式，由题意易知 A10，当 t0 时，d0，得 0；当t30 时，d10，可得 ，所以 d10sin .60 t60答案：10sint607设某人的
6、血压满足函数式 p(t)11525sin(160t )，其中 p(t)为血压 (mmHg)，t 为时间(min) ，则此人每分钟心跳的次数是_解析：T (分), f 80(次/分) 2160 180 1T答案：808一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式是 s3cos ，其中 g 是重(glt 3)力加速度，当小球摆动的周期是 1 s 时，线长 l 等于_解析：T 1. 2.l .2gl gl g42答案：g429. 已知函数 f(x)2015四 川 成 都 市 七 中 高 一 月 考 3sin 3.(x2 6
7、)(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)指出 f(x)的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心解析：(1)列表x3 23 53 83x2 6 0 2 32 2y 3 6 3 0 3(2)周期 T4，振幅 A3，初相 ，6由 k ，得 x2k (kZ )即为对称x2 6 2 23轴；由 k ，得 x2k (kZ)，x2 6 3即 为对称中心(2k 3，3)10. 已知某地一天从2015吉 林 长 春 市 高 一 期 末 416 时的温度变化曲线近似满足函数 y10sin20，x4,16(8x 54)(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在 15 到 25 之间
8、可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？解析：(1)由函数易知，当 x14 时函数取最大值，此时最高温度为 30 ，当 x 6 时函数取最小值，此时最低温度为 10 ，所以最大温差为 30 10 20 .(2)令 10sin 2015，得(8x 54)sin ，而 x4,16 ，所以 x .(8x 54) 12 263令 10sin 2025，得 sin ，(8x 54) (8x 54) 12而 x 4,16，所以 x .343故该细菌能存活的最长时间为 (小时)343 263 83B 组 能力提升11如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O距离水面 2 m，已知水轮每分钟转
9、动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解析：(1)如图所示建立直角坐标系，设角 是以 Ox 为始边，OP 0 为终边的角( 2 0)OP 每秒钟内所转过的角为 .5260 6OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t t.(5260 ) 6由题意可知水轮逆时针转动，得z 4sin 2.(6t )当 t0 时，z0，得 sin ，即 .12 6故所求的函数关系式为 z4sin 2.(6t 6)(2)令 z4sin 26，得(6t 6)sin 1，令
10、t ，得 t4，(6t 6) 6 6 2故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s.12.附 加 题 选 做 某港口水深 y(米)是时间 t(0t24 ，单位：小时) 的函数，下面是水深数据：t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型 yA sintB 的图象(1)试根据数据表和曲线，求出 yAsintB 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)
11、为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间 )解析：(1)从拟合的曲线可知，函数yA sintB 的一个周期为 12 小时，因此 .2T 6又 ymin7，y max 13，A (ymaxy min)123，B (ymax ymin)10.12函数的解析式为 y3sin t10(0t24)6(2)由题意，水深 y4.57，即y3sin t1011.5，t0,24，6sin t ， t ，k0,1，6 12 6 2k 6，2k 56t1,5或 t13,17，所以，该船在 1：00 至 5：00 或 13：00 至17：00 能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过 16 小时
