1、1第五章 二次型(小结)一、二次型与矩阵1. 基本概念二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.(2) 二次型 可经非退化的线性替换 化为二次型AXxfn),(21 CYX.AYyfn),(21 CB(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.二、标准形1. 基本概念二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理(1) 数域 上任意一个二次型 都可经过非退化的线性替换 化P),(21nxf CYX为标准形式 .21nydyd(2) 在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.三、唯一性1. 基本概念复二次型的规范形;实二次
2、型的规范形 ,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任一复二次型 都可经过非退化的线性替换 化为唯一的规范),(21nxf CYX形式 的秩.rzz,221因而有:两个复对称矩阵合同 它们的秩相等.(2) 惯性定律 :任一实二次型 都可经过非退化线性替换 化为),(21nxf CYX唯一的规范形式2的秩,frzzp,22121为 的惯性指数.因而两个 元实二次型可经过非退化线性替换互化 它p),(21nxf n们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.四、正定二次型1. 基本概念正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.2. 基本结论(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.(2) 实二次型 正定AXxfn),(21 与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵 ,使得 ;AP 的顺序主子式都大于零. 的正惯性指数等于 .),(21nxf n
