1、高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 15 第一学期 第四周 课程内容 空间直线及直线与直线的位置关系2014-2015学年 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 15 1准备知识要点：平面的基本性质 2本阶段知识要点： （1）掌握空间两条直线的位置关系，能够画出空间两条直线的各种位置关系的图形. （2）掌握两条直线所成的角的概念；会求空间两条直线所成的角. 会计算两条异面直线的 距离. （已给出公垂线时的距离） （3）掌握平行公理、等角定理. （4）会用上述概念以及空间两条直线平行
2、与垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有 关问题，提高学生逻辑思维能力和逻辑推理能力. （5）会利用线面平行及面面平行的判定和性质解决有关问题. 一）空间两条直线的位置关系 1空间两条不重合的直线有三种位置关系. 若从有无公共点的角度看，可分为二类 （1）有且仅有一个公共点 相交直线 （2） 平行直线 异面直线 若从是否共面的角度看，也可分为二类 （3） 相交直线 平行直线 （4）不同在任一平面内 异面直线. 从上述任一角度都只能把空间直线的位置关系粗略地加以区分，只有两种角度结合起 来，才能对三种位置关系作出精确的描述. 1定义 相交直线：有且仅有一个公共点. 平行直线：在同一平面内，没有公
3、共点. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 注：学习空间直线，有利于同学实现由认识平面图形到认识立体图形的飞跃. 以后要改 变只习惯在一个平面内考虑问题的习惯. 二）平行直线 1平行直线的定义 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行直线. 2平行公理 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 即：设a 、b、c 为直线 没有公共点 在同一平面内高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 15 c a c b b a / / / 此时可记为a /b/c. 3等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这
4、两个角相等. 4推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等. 注：1、公理 4 是证明等角定理的基础，也是今后论证平行问题的主要依据. 2、公理 4、等角定理及其推论都是由平面图形推广到立体图形的. 但应注意，并 非所有关于平面图形适用的结论对于立体图形仍然适用. 例如：在平面几何中有：垂直于同一条直线的两条直线平行. 而在立体几何中，垂直于同一条 直线的两条直线三种位置关系都有. 如下图 直线 ba , ca 三）异面直线 1异面直线的定义 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线. 注：该定义不能说成是“不在一个平面内的两条直线是异面直线”
5、. 如下图 虽然 AB、CD 分别在平面 b a和 内，但是图（1）中 AB/CD. 图（2）中 ABI CD=A, 则 AB 与 CD 在同一平面内，他们不是异面直线. c b a a b/c b c a a b A A c b = I a b c a b b 与 c 是异面直线 A a C D b B A a （C） D b B高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 15 2异面直线的性质 两条异面直线没有公共点，不同在任何一个平面内. 两条异面直线既不平行又不相交. 3异面直线的画法 一个平面衬托 二个平面衬托 注：“没有在同一平面内
6、”；“不能同在任一平面内”这两句话的意思显然不同. 4异面直线的判定 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 已知： a B B A a , , , a a a 求证：直线 AB 和a 是异面直线. 证明：假设直线 AB 与a 在同一平面内，那么这个平面一定经过点 B 和直线a . B a 经过点 B 与直线a 只能有一个平面a 直线 AB 与a 应在平面a 内. A a 这与已知 A a 矛盾 直线 AB 和a 是异面直线. 说明：本题的证明采用的是反证法. 一般证明两条直线是异面直线时，常采用反证法来证 明， i）假设这两条直线在同一平面内，推出矛盾后即可说明
7、这两条直线是异面直线. ii）假设这两条直线不是异面直线，则这两条直线可能平行或可能相交. 必须同时否定平 行和相交这两种情况，才能证明这两条直线是异面直线. a b a M N A B C D b a A B a a高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 15 5两条异面直线所成的角 （1）a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，作直线a 、b，并使a / a , b/b, 我们把直线a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角. （2）异面直线所成的角的范围是（0, 2 p （3）说明： i）异面直线所成的角
8、只由a 和 b 的相对位置来决定，和点 O 的位置无关.所以可以把 O 点选在直线 b 上. ii）通过画平行线的方式，可使两条异面直线移到同一平面的位置上，（如右图）这 是研究异面直线所成的角时使用的方法. 要重视这种把立体图形问题转化为平面图形问题的 方法. 6两条异面直线互相垂直. 如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直. 这样两条互相垂直的直线 可以是相交的. 也可以是异面的. 注：易证：直线a /b，直线 b l a l ，对空间直线也是成立的. 7两条异面直线的距离 （1）两条异面直线的公垂线 和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的公垂线. 说明
9、：定义中要注意既要垂直又要相交. 不相交不是两条异面直线的公垂线. （2）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫做两条异面直线的距离. 说明：求异面直线的距离时，必须先判断所给的异面直线的公垂线. a b a a b o a b a a o高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 15 四）直线和平面的位置关系 不同的分类标准可以得出不同的分类方法。 对空间的直线和平面的位置关系，可根据 直线和平面有无公共点来划分，也可以按直线是否在平面内来划分具体分类如下： 位置关系 公共点个数 图形 证法 直线在平面内
10、无数个 a a a a = a a A a / 没有 直线与平面平行 有且只有一个 直线与平面相交 直线在平面外 五）两个平面的位置关系 1位置关系 两个平面的位置关系只有两种 （1）两个平面平行 没有公共点 （2）两个平面相交 有一条公共直线 2画法 a a A B b b （2） （1） 3记法 记作a b 记作 a b AB 注：1）画两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行. 2）画两个平面相交时，应画出它们的交线. 六）直线和平面平行的判定 判定一条直线和平面平行，可以根据定义，证明这条直线和平面没有公共点“没有公 共点”是一种否定性判断，对此常用反证法证明 为直
11、接判定一条直线和平面平行，根据定义推证了判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 用这个定理来判定直线 a/平面时，必须符合定理中的三个条件： （1）直线 a 在平面外（a ）； （2）直线 b 在平面内（b ） a 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 15 （3）直线 a 平行于直线 b（a / b） 这三个条件是缺一不可的，如缺（1），只满足（2）（3），则推出直线 a 与平面平 行或直线 a 在平面内与直线 b 平行 证明这个定理的根据只有直线和平面平行的定义要证明直线 a 和平面没有公
12、共点 可以用反证法由于导出矛盾的方法不同，可以得到反证法的多种具体证法 把判定定理写成 a a a / / a b a b a 证法一 a a/或 a=A 假设 a=A 如图 a/b Ab 在平面内，过点 A 作直线 c/b 根据公理 4，a/c 与 ac=A 矛盾 a=A 不可能 a/ 证法二 a/b a，b 确定一个平面 b a =b 假设 a=A Aa，a A 又 Aa Ab ab=A 这与已知 a/b 矛盾 a=A 为不可能 又 a 在外 a/ 证法三 假设 a 不平行于平面 a a=A a/b Ab 设 a、b 确定平面 则=b Aa，a A即 A 是、的公共点 于是有平面、的交线
13、b 不经过它们的公共点 A这与公理 2 矛盾 故 a 与平面不平行是不可能的所以 a/高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 15 还可以有其他的证法上述三种证法中包含了反证法证题中从“假设”推出矛盾的三个 不同的途径：法一导出的结果与所作的假设相矛盾，属于自相矛盾；证二导出的结果与已 知条件矛盾；证三导出的结果与已知公理矛盾 为了便于记忆，判定定理可以简述为“线线平行，则线面平行” 七）两个平面平行的判定 1两个平面平行的定义 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面平行. 2如何由线面平行 面面平行 如果一个平面内的所有直线都平行于另
14、一个平面，那么这两个平面平行. 3两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 即： b a b a b a / / , , / , = P b a b b a a I 注：1）该定理的证明用的是反证法. 2）决定平面a /平面 b 的重要条件是相 交 的两条直线. 3）该判定定理可以简述为“线面平行，则面 面平行。” 4重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行. 即： b a b a / , l l 注：1）这个命题用来判定两个平面平行. 2）该命题的证明中用到“辅助面”， 类似平面几何中的“辅助线” （2）平行于同一平面的两个平面平行.
15、即： r r / / , / a b b a 练习用反证法证明该命题 联系公理 4 来记忆 八）直线和平面平行的性质 设直线 b 在平面内，如果将直线 b 平行移到平面外得到直线 a，如图那么由于 a ，a/b，b ,所以 a/ P a b a a b l b高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 15 反过来，对于平行于平面的直线 a，能否通过平行移动使它位于平面内呢？由于 a/平面，所以 a 和平面无公共点，因此只需要在平面内找到与 a 在同一平面内的直线 b 就会有 a/b直线和平面平行的性质定理确定了这一事实 性质定理：如果一条直
16、线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相 交，那么这条直线就和交线平行即 b a b a a / / = b a b a 注：该定理可简述为若线面平行，则线线平行。 九）两个平面平行的性质 1定义 如果两个平面平行，那么这两个平面没有公共点. 2性质 如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的直线平行于另一个平面. 即 b a b a / , / a a 注：该定理可简述为：若面面平行，则线面平行。 3性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行. 即： b a b r a r a / , , / = = I I b b a 注：（1）该性质定理证明用到两个平
17、面平行及 两条直线平行的定义。 （2）该定理可简述为：“若面面平行，则线线平行”。 例 1长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知：BAB1= B1A1C1=30 则 1）AB 与 A1C1 所成的角为 30 度. 2）A1A 与 B1C 所成的角为 45 度. 3）AB1 与 A1C1 所成的角的余弦值为 4 3 . a a b a b b A A1 D1 C1 B1 C B D 30 30高二数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 15 解：1）AB/A1B1 C1A1B1 为异面直线 AB 与 A1C1 所成的角 30 2）A1A/B
18、1B BB1C 为异面直线 A1A 与 B1C 所成的角 易证A1B1C1ABB1 BB1=B1C1=BC 45 3）易证 A1C1/AC B1AC 为异面直线 AB1 与 A1C1 所成的角 在AB1C 中 设 B1B= a 则 AB1=2a ， AC=2a ， B1C= 2 a cosB1AC= 4 3 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 = - + = - + a a a a a AC AB C B AC AB 例 2在空间四边形 ABCD 中，已知 ACBC，AD BD， DMAB 于 M 点，CNAB 于 N 点， 求证：DM、CN 为异面直线 证明：ACBC， CNAB N 为 AB 的中点 又AD BD DMAB M 不是 AB 的中点 M 与 N 不重合 A B N M D C
