1、课时44 存在性与探究性问题,重点解读等腰(边) 三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中，常常以它为载体，与其他知识结合编制成综合性较强的问题，是中考中必考的一个热点问题，往往在综合题中出现，是函数、方程与几何的综合运用，形式广泛，在中考命题中常考常新一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合成为探究数形结合与分类讨论的问题；二是将它与反比例函数、二次函数等函数结合成为探究函数、方程思想的应用问题；三是将它与运动问题结合，涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识，成为探究等腰三角形的存在性问题存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类几何问题探究是新中考命题中的一大
2、亮点，往往设计成一个小课题，以“链式”问题链的形式出现，图形运动与证明的结合，常把点的运动、线段的运动与全等、相似的证明、特殊三角形的判定、特殊四边形的判定结合起来，挖掘变中之不变，将问题图形中的某个图形进行平移、翻折、旋转等运动，使其中某些元素或图形的结构产生了规律性的变化，针对这种规律性的变化形式或特定的结论设计逐步递进的问题串来形成探究问题，由于涉及图形较复杂，关注知识点较多，各知识板块之间的联系较为密切来源:学优高考网gkstk常见探究型问题有两种：(1)存在性探究型问题：一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理的结论，则可
3、肯定假设；(2)规律探究型问题：一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面而细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，从而达到解决问题的目的,典题聚焦【例】(2017菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx1交y轴于点A，交x轴正半轴交于点B(4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D(3 ， )，过点D作DCx轴，垂足为C.52(1)求抛物线的表达式；(2)点P在线段OC上(不与点O，C重合)，过P 作PNx轴，交直线AD于点M，交抛物线于点N，连结CM，求PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点 ，设OP 的长为t ，是否存在t，使以点M，C ，D ，N为顶点的
4、四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在 ，请说明理由【解析】(1)把点B(4，0)，点 D(3， )代入抛物线yax 2bx1得方程组，解方程组求得a ，b的值，即可求出52抛物线的表达式；(2)求得直线AD的表达式，设x pm(0m3)，利用m表示出MP和PC 的长，再利用三角形的面积公式构建出PCM的面积和m 的二次函数模型，利用二次函数的性质即可解决问题；(3) 分点P在点C 的左边和点P在点C 的右边两种情况求解来源:学优高考网【答案】解：(1)把点B(4，0) ，点D(3， )代入抛物线y ax2bx1可得 解得 52 0 16a 4b 1，52 9a 3b 1， ) a
5、34，b 114， )抛物线的表达式为y x2 x1；34 114(2)y x2 x1，A(0 ，1)34 114设直线AD的表达式为ykxb，把A(0， 1)，D(3， )代入得 解得52 b 1，3k b 52， ) b 1，k 12， )y x1.12设x pm(0m3)，MP y m m1.12x Cx D3，PCx Cx P3m ，S MCP ( m1)(3 m) (m )2 ，1212 14 12 2516二次函数的顶点坐标为( ， )，12 2516即当m 时，S 最大 ；12 2516(3)存在当点P 在点C的左边时OP的长为t，设x pt(0t 3) ，则y M t1，y N
6、 t2 t1，12 34 114MNy Ny M( t2 t1)( t1)34 114 12 t2 t.34 94MNCD ， t2 t .52 34 94 5239，方程无解；当点P在点C的右边时，OP的长为t，设x pt(t3)来源:gkstk.Com则y M t1，y N t2 t1，12 34 114MNy My N( t1)( t2 t1) t2 t.12 34 114 34 94MNCD ， t2 t ，52 34 94 52解得t 1 3(舍去)，t 2 .9 2016 9 2016综上所述，当t 时，以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形9 2016来源:学优高考网,攻关
7、训练)1(2017临沂中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边 BC，AB上的点，且CEBF. 连结DE ，过点E作EGDE，使EGDE，连结 FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图，若E，F 分别是边 CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图，若E，F 分别是边 BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断解：(1)FGCE，FGCE；(2)成立证明：设CF 与DE 相交于点M.四边形ABCD是正方形，BCCD ，FBCECD90.BF CE， BCFCD
8、E，FC ED，DECBFC.BFCFCE90，DECFCE90，来源:学优高考网gkstkEMC90，即FCDE.GEDE ，GE FC.又EGDE ，EG FC，四边形GECF是平行四边形，FGCE，FGCE.(3)成立2(2017济宁中考)定义：点P是ABC内部或边上的点( 顶点除外 )，在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC 的自相似点例如：如图，点P在ABC的内部，PBCA ，PCBABC ，则BCP ABC，故点P 为ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线C：y (x0)上的任意一点 ，点N
9、 是x轴正半轴上的任意一点33x(1)如图，点P 是OM上一点，ONPM，试说明点P是MON 的自相似点；当点M的坐标是( ，3) ，点3N的坐标是( ，0)时，求点P的坐标；3(2)如图，当点M 的坐标是(3， )，点N 的坐标是(2 ，0)时，求MON的自相似点的坐标；3(3)是否存在点M 和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)在ONP和OMN中，ONP OMN，NOP MON，ONP OMN，点P是MON的自相似点如解图 ，过点P 作PDx轴于D点tanPOD ， PON60.MNON 3ONP OMN，MNO90，OPN90.在Rt
10、OPN中，OP ONcos 60 ，32ODOPcos60 ，32 12 34PDOPsin60 .P( ， )32 32 34 34 34(2)如解图，过点M 作MHx轴于H点M(3， )，N(2，0) ，OM2 .3 3直线OM的表达式为y x，ON2.NHOHON1 ，MH ，MN 2，MN ON ，33 3 12 （3）2MONOMN.P 1是MON的自相似点， P 1ONNOM.P 1NOOMN MON ，P 1OP 1N.过点P作P 1Qx轴于Q点，P 1OP 1N，OQ ON1.12P 1NOOMN MON ，P 1OP 1N，P 1的横坐标为1，y 1 ，P 1(1， )33 33 33如解图，P 2NMNOM， ，P 2N .P2NON MNMO 233分析可知P 2MNP 2NMMON30，P 2Nx轴P 2的纵坐标为 ， x，x2，233 233 33P 2(2， )233综上所述，P的坐标为(1， )或(2， )；33 233(3)存在，M( ，3) ，N(2 ， 0)3 3请完 成 精 练 B本 第 44页 作 业
