1、【课题研究】2、5 平面向量应用举例【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何的有关问题.今天我们通过几个具体的实例，说明向量方法在几何平面只能给的运用.因为有了运算，向量的力量无限.如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标.一、 【学习目标】1 了解本章知识网络结构；2 进一步熟悉基本概念及运算律；3 理解重要定理、公式并能熟练应用；4 加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力5 认识事物之间的相互转化；6 培养学生
2、的数学应用意识；7.熟悉向量的性质及运算律； 8.能根据向量性质特点构造向量；9.熟练平面几何性质在解题中应用；10.熟练向量求解的坐标化思路11.认识事物之间的内在联系；12.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识二、 【自学内容和要求及自学过程】1 本章知识网络结构2 本章重点及难点 (1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用； (2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等； (3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用3 向量的概念 (1)
3、向量的基本要素：大小和方向 (2)向量的表示：几何表示法 ， ；坐标表示法ABa (3)向量的长度：即向量的大小，记作 ),(yxjia(4)特殊的向量：零向量 0 单位向量 为单位向量a0 1 0(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(21yx21yx(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移ab到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 4 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1 平行四边形法则2 三角
4、形法则 ),(21yxbaab)()(ccACB向量的减法三角形法则 ),(21yxba)(baABO向量的乘法1 是一个向量,满足:a2 0 时, 与 同向;建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.例 2 两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小 与两绳子间的1F夹角 的关系分析：作图引导学生进行受力分析（注意分析对象） ；引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：2cos21cos1GF讨论：当 逐渐增大时， 的大小怎样变化？
5、为什么？1当 为何值时， 最小，最小值是多少？F当 为何值时， ？G1如果 ， 在什么范围时，绳子不会断？N82,51 请同学们自行设定 与 的大小，研究 与 的关系？1F1F利用结论解释教材上给出的两个物理现象作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型例 3 速度与分解问题一条河的两岸平行，河的宽度 d=500m，一艘船从 A 处出发航行到河的正对岸 B 处船航行的速度 ，水流速度hkmv/10那么， 与 的夹角 (精确421v21GFvv 21DCAB到 )多大时,船才能垂直到达对岸 B 处? 船行驶多少时间(精确到 01min)?01分析：速度是向量1 启发学生思考：如果水是静止
6、的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速 的方向怎样的呢？22 再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度 的方向还是 的方向？为什么？13 启发学生画出 和 的方向，思考一下向量 - 的方向如何确定？2 24 启发学生利用三角形法则作出 - （即 ） ，再把 的起点平移到 ，211A也可直接用平行四边形法则作出 15 让学生完成 的计算（注意 和 的方向垂直）t,2即 ,|)90sin(12v|arcsin901v04= ,21|vsin|hkm/.|dtin3.6 让学生完成当船要到达图中的 和 ，且 分别为 时，CDB,d2
7、,1对应的 分别是多少？t, vvv 21DCAvvv21DCA(1)求 : 或 )135sin(|135si| 00 )45sin(|45i|0201vv(2)求 : 或 vi|i|0vi|si|016 组织学生讨论思考，是否船垂直到达对岸所用时间最少？为什么？sin1dt例 4 利用向量知识证明下列各式 (1)x2 y22 xy(2) x 2 y 22 xy分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证证明：(1)设 a（ x， y） ，
8、 b（ y， x）则 ab xy yx2 xy a b 222y又 ab a bcos (其中 为 a， b 夹角) a b x2 y22 xy(2)设 x， y 的夹角为 ， 则 xy x ycos x y 2x x 2 y 22 xy评述： (1)上述结论表明，重要不等式 a2 b22 ab，无论对于实数还是向量，都成立 (2)在(2)题证明过程中，由于 x， y是实数，故可以应用重要不等式求证 例 5 利用向量知识证明 (a1b1 a2b2)2（ a12 a22）（ b12 b22）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数
9、量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量 证明：设 a（ a1， a2） ， b（ b1， b2）则 ab a1b1 a2b2， a 2 a12 a22， b 2 b12 b22 ab a bcos a b (其中 为 a， b 夹角)（ ab） 2 a 2 b 2（ a1b1 a2b2） 2（ a12 a22）（ b12 b22）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会 例 6 已知 （ x） 2求证： （ a） （ b） a b( a b）分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于 （ a） 、 （ b
10、）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证下面给出两种证法 证法一： （ a） ，21 （ b） ， 2要证明 （ a） （ b） a b 只需证明 2 a b 221即 1 a21 b22 a2 b22 ab)1(即 1 ab)(只需证明（ ） 2（1 ab） 22即 1 a2 b2 a2b212 ab a2b2即 a2 b22 ab a2 b22 ab 又 a b a2 b22 ab （ a） （ b） a b 证法二：设 a（1， a） ， b（1， b） 则 a ， b22a b（O， a b） a b a b 由 a b a b，（其中
11、当 a b即 a b 时，取“” ，而 a b ） a b a b 即 a b 212 （ a） （ b） a b 评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识 上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用例 7 已知：如图所示， ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线求证 AC BD 分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考
12、虑坐标形式的充要条件 证法一： ， ACBD ， BD （ ）（ ）AB 2 2O AB CD证法二：以 OC 所在直线为 x 轴，以 B 为原点建立直角坐标系，设B(O，O)， A(a， b)， C（ c，O）则由 AB BC得 a2 b2 c2 （ c，O）（ a， b）（ c a， b） ， ACB （ a， b）（ c，O）（ c a， b） D c2 a2 b2 O 即 AC BDACB评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和
13、掌握例 8 若非零向量 a 和 b 满足 a b a b证明： a b分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法 证法一： (根据平面图形的几何性质) 设 a， b， OAB由已知可得 a 与 b 不平行， 由 a b a b得以 、 为邻边的平行四边形 OACB 的OAB对角线 和 相等 CBA所以平行四边形 OACB 是矩形， ， a bO证法二： a b a b （ a b） 2（ a b） 2 a22 ab b2 a22 ab b2 abO ， a b证法三：设 a（ x1， y1） ， b（ x2， y2） ， a b ，2)()( a b ，2121 21)()(yx
