1、【课题研究】2、1 平面向量的实际背景及基本概念【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师本解释本章的入门章节，概念较多，但是难度不是很大.学生可以根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图像实际物体区分平行、相等概念.由于向量来源于物理，并且兼备数形的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，也是几何研究的主要对象.几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另一点的位置.位移简明的表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要物理模型.力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其它力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及
2、矢量等概念与向量之间的关系，为此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础.一、 【学习目标】1、理解平面向量的含义、理解单位向量、零向量的含义；2、理解平行向量、共线向量的含义，注意零向量的特殊性.二、 【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材 74 页内容，回答问题（向量的物理背景与概念）请你举出物理学中一些向量的例子结论：力、重力、浮力、弹力、位移、速度、加速度是向量（注意：速率、路程、密度、温度、功等都不是向量）什么是向量？什么是矢量？结论：数学中把既有大小又有方向的量叫做向量；而把那些只有大小没有方向的量叫做数量（如年龄、身高、长度、面积、体积、质量）.2、阅读教材 7576
3、页内容，回答问题（向量的几何表示）怎样表示向量？结论:我们知道，带有方向的线段叫做有向线段.我们在有向线段的中点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 ，起点写在终点的前面 . 向量可以用字母 表示，或用表示向量的有向线段的起点和cba，终点字母表示，例如 ， .CD向量的三要素是什么？结论：向量的三要素是起点、方向和长度，当向量的起点方向和长度确定了，那么向量的终点也就确定了.什么是向量的模？什么是 0 向量？什么是单位向量？结论：已知 ，线段 AB 的长度叫做有向线段 的长度（或称模） ，ABAB记作| |.模为零的向量称作零向量，记作 ，长度为 1 的向量叫做单
4、0位向量.什么是平行向量.结论：方向相反或相同的非零向量叫做平行向量，记作 .我们规ba/定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 ，都有 .03、阅读教材 76 页内容，回答问题（相等向量、共线向量）什么是相等向量结论：长度相等且方向相同向量叫做相等向量.记作.任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向ba线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一向量，因为向量完全由它的方向和模确定.什么是共线向量？结论：如图所示 是一组平行向量，任意做一条与 所在直线平cba， a行的直线 l，在 l 上任意取一点 O，则在 l 上可分别作出.这就COBaA，
5、是说，任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 需要注意的是，零向量和任意向量都共线.注意点1、长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行零向00量 0 由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向a量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 （注意与 0 的区别）2、模为 1 个单位长度的向量向量 为单位向量 1 0a0a三、 【综合练习与思考探索】练习一：教材例 1、例 2；练习二：教材 77 页练习 1、2、3、4.四、 【作业】1、必做题：习题 2.1A 组 1、2、3、4、5、6；2、选做题：习题 2.1B
6、组 1、2.七、 【课后小练】1、给出下列命题： 若| | |，则 = ；ab 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCDABDC为平行四边形的充要条件； 若 = ， = ，则 = ，ca = 的充要条件是| |=| |且 / ；abb 若 / ， / ，则 / ，其中正确的序号是 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且 ，ABDC|AB/DC又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则， 且 ，/|AB因此， 正确 = ， ， 的长度相等且方向相同；ab又 ， ， 的长度相等
7、且方向相同，bc ， 的长度相等且方向相同，故 ac 不正确当 / 且方向相反时，即使| |=| |，也不能得到b= ，故| |=| |且 / 不是 = 的充要条件，而是必要不充分条aab件 不正确考虑 = 这种特殊情况0综上所述，正确命题的序号是点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想2、下列说法中错误的是（ ）(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行(C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的3、下列命题正确的是（ ）(A)向量 的长度与向量 的长度相等ABA(B
8、)两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同(C)非零向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线 CD(D)若 平行 且 平行 ，则 平行abcac4、设在平面上给定了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别为AB、BC 、CD、DA 的中点，求证向量 .KLNM5、一辆汽车从点 A 出发向西形式了 100 千米到达 B 点，然后又改变方向，向西北方向行驶了 200KM 到达点 C，最后又改变方向，向正东方向行驶了100KM 到达点 D.做出向量 ， ， .求| |.BDC6、在直角三角形 ABC 中，角 A=900，| |=1，| ,求| |.A27、判断下列说法是否正确：平行向量是否一定方向相同；不相等的向量是否一定不平行？与零向量相等的向量一定是零向量吗？与任意向量都平行的向量是什么向量？若两个向量在同一条直线上，则这两个向量一定是什么向量？两个向量相等当且仅且什么？共线向量一定在同一条直线上吗？8、把且单位平面向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图像是什么？9、将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是什么？（两个点）
