1、变化率问题导学案 命制学校：沙市五中 命制教师：任启林学习目标1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变化率2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率3. 情感态度与价值观学习重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点 平均变化率的概念.学法指导 自由的探究学习知识链接一、自主学习为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线
2、的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、合作探究(一)问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积 (单位: )与半径 (单位: )之间的函数关系是VLrdm34)(rV如果将半径 表示为体积 的函数,那么r 34V分析: 34)(1)当 从 增加到 时,气球半径增加了V01
3、 )(62.0)(1dmr气球的平均膨胀率为 /62.0)(Ldr(2)当 从 增加到 时,气球半径增加了2 )(.)(气球的平均膨胀率为 /1.)(可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少? 12)(Vr问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 (单位: )与起跳hm后的时间 (单位 : )存在函数关系 .如何用ts 105.69.4)(2ttth运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?v思考计算: 和 的平均速度5.0t21tv在 这段时间里, )/(.405.)(sh在 这段
4、时间里,t 281)(m探究: 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49650(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数 的图像,105.6.)(2ttth结合图形可知, ,所以)(49 )/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ,650t )/(但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子 表示,来源:学优高考网 gkstk12)(xff称为函数 从 到 的平均变化率.)(xf122.若设
5、, (这里 看作是对于 的一个“增量”可用2)(ffx1x代替 ,同样 )x1 12y则平均变化率为 xffx)(思考: 观察函数 的图象)(f平均变化率 表示什么?12)(ff三、典例分析例 1 已知函数 的图象上的一点 及xf2)( )2,1(Ahto临近一点 则 .)2,1(yxBx解: 1(2y xx 3)(例 2 求 在 附近的平均变化率.20解: 20)(y所以 xx0 xx0202所以 在 附近的平均变化率为2四、课堂练习来源:gkstk.Com1.质点运动规律为 ,则在时间 中相应的平均速度为 .3ts)3,(t2.物体按照 的规律作直线运动,求在 附近的平均变化率.43)(2tts s4来源:学优高考网 gkstk3.过曲线 上两点 和 作曲线的割线,3)(xfy)1,(P)1,yxQ求出当 时割线的斜率.10五、回顾总结1.平均变化率的概念.来源:gkstk.Com2.函数在某点处附近的平均变化率.来源:学优高考网
