1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（62）绝对值甲内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下： )0(a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(x解：当 x=0, x=2 时, )(=0；当 x2 时, x=x(x2)=x 22x；当 02 时，x=4.原方程的解是：x=2， x=4 （3）作函数 y= 2x的
2、图象.解：化去绝对值符号，得 y=2x+2 (x2).分别作出上述三个函数的图象（如图） ，就是函数 y= 2x的图象.3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： 解方程 3x； 解不等式 3x； 解不等式 32x.解： 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于 3 个单位的点所表示的0 2X2学优中考网 数，即 3 和3， 方程 x的解是 x=3, x=3. 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于 3 个单位的点所表示的数，不等式 3的解集是 3x3. 2x的零点是 x=2, 的
3、几何意义是：x 是数轴上到点（2）的距离大于 3 个单位的点所表示的数， 32 的解集是 x1.（如下图）4. 绝对值的简单性质： 绝对值是非负数； 两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕 x 轴向上翻折作函数图象：y= 1 y= 2x（2） 当 f（x）=f(x), 图象关于纵轴对称，这时可先作当 x0.a1；当 x0 时，原方程为 x=ax+1, x= , 1a0.a1 且 a 1，a 的取值范围是 a1.例 2. 求函数 y=2 x3 的最小、最大值.解：当 x
4、1.例 5. a 取什么值时，方程 ax12 有三个整数解？(1986 年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得 =a, 2x=1a , x2=(1a) ， x=2(1a) . 当 a=1 时，x 恰好是三个解 4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y= 1x 图象，（2）再作 y=a(平行于横轴的直线 )与 y= 12x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1, 即 a=1.本题若改为：有四个解，则 01；一个解，则 a 不存在；无解，则 a0.学优中考网 丙练习 621. 方程 3x=4 的解是.2. 方程 6-2=0 的解是_.3. 方程 1x=3 的解是_.4. 方程 3=5
5、的解是.5. 不等式 2 x5 的解集是_. 6. 不等式 15 的解集是_. 7. 不等式 x3 的解集是_. 8. 不等式 -2的解集是_. 9. 已知 )3(x3-x, 那么 x1_. 10. 关于 x 的方程 =ax+2 有根且只有负根，求 a 取值范围. 11. a 取什么值时，方程 x2无解？有解？有最多解？12. 作函数 y= 31的图象；并求在3x3 中函数的最大、最小值. 13. 解方程 45x. 14. 作函数 y= 12的图象.15. 选择题：（1972、1973 年美国中学数学竞赛试题）.对于实数 x ，不等式 1x27 等价于（ ）（A） x1 或 x3 （B）1x3 （C）5x0 （D）5x1 或 3x9 （E）6x1 或 3x10不等式x1+x+25 的所有的实数解的集合是（ ）（A） 2： (B) 2： (C) 12：(D) 5.3.1x： (E) （空集）丙练习 62 参考答案：1. 7，1. .2. 2. 3. 1x2. 4. 1，4. 5.2x0， 5x8 学优中考网 6. 2x3 7.空集. 8. 0x 32 9.当 x1 时，原式=1 ；当 1x3 时，原式=2x 1. 10.仿例 1. 11.仿例 5 12. 函数的最大值是 11，最小值是 5. 13. 1x5. 15.(D),(A).学优中考网 学*优中 考，网
