1、3 截一个几何体1截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面如图所示，阴影部分就是截面谈重点 截面的理解由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同同一个几何体可能有多种不同形状的截面【例 1】 下列关于截面的说法正确的是( )A截面是一个平面图形 B截面的形状与所截几何体无关C同一个几何体，截面只有一个 D同一个几何体，截面的形状都相同解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知
2、，A 是正确的；截面与几何体的形状有关，B 是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以 C，D 是错误的故选 A.答案：A2.正方体的截面正方体截面的形状：如图所示，正方体的截面的形状可以是：(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图.(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图.(3)五边形，如图.(4)六边形，如图.正方体中不同形状的截面的截法：(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形(2)图中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰
3、三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形【例 2】 下列说法正确的是( )正方体的截面可以是等边三角形 正方体不可能截出七边形 用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形 正方体的截面中边数最多的是六边形A B C D解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，错误；正方体有六个
4、面，当与六个面都相交时，截面是六边形，正确答案：D3圆柱、圆锥、球的截面(1)圆柱的截面用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分(2)圆锥的截面用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分(3)球体的截面用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆【例 3】 下列几何体的截面分别是_、_、_、_.解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直答案：圆 长方形 三角形 圆4根据截面判断几何体(1)常见几何体截面的比较常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五
5、棱柱、六棱柱其中以正方体为代表各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：截面中有曲线，则原几何体一定有曲面例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形【例 41】 一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )A圆柱和圆锥 B球体和圆锥C球体和圆柱 D正方体和圆锥解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选 C.答案：C【例 42】 一个几何体
6、，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)分析：本题考查由截面的形状判断几何体用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体综合两个条件可得该几何体可能是圆柱解：这个几何体可能是圆柱点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断出几何体的形状5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关用一个平面截掉正方体的一个角，剩余部分的顶点数
7、、棱数和面数情况：截面过顶点的个数 顶点数 棱数 面数0 10 15 71 9 14 72 8 13 73 7 12 7【例 51】 如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有_个解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有 9 个答案：9【例 52】 如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有_个顶点，有_条棱，有_个面解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有 10 个顶点，15 条棱，7 个面答案：10 15 76截面的应用把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底
8、面的面积如图所示截面与增加的面积的关系：分成的段数 截面数 增加的面积2 1 2 个截面的面积3 2 4 个截面的面积4 3 6 个截面的面积5 4 8 个截面的面积n n1(n2) 2(n1)个截面的面积【例 6】 如图所示，一根长 2 米的长方体木料锯成 4 段，这根木料的表面积比原来增加了72 平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？分析：木料被锯成 4 段，实际上可以看成用 3 个平面去截一个长方体，每个截面处增加 2个相等的面，共增加了 326 个面，这 6 个面的面积和是 72 平方厘米，可先求出每个面的面积，再求体积解：因为将木料锯成 4 段，则表面积多出 6 个面，且每个面的面积相等，所以72612(平方厘米)所以原木料的体积是 122002 400(立方厘米)答：这根木料原来的体积为 2 400 立方厘米点评：长方体的体积横截面的面积长；注意本题单位要统一
