1、导数的几何意义导学案 命制学校：沙市五中 命制教师：任启林学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.学习难点：导数的几何意义.知识链接一、自主学习(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数 在 处的瞬时变化率,反映了函数 在)(xfy0 )(xfy附近的变化情况,导数 的几何意义是什么呢？0x0二、合作探究(一)曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2,当 沿着曲线 趋近于点 时,割线(,)(1,234)nnPx
2、f()fx0(,)Pxf的变化趋势是什么？n来源:gkstk.Com我 们发现,当点沿着曲线无限接近点 即 时,割线 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线nPP0xnP称为曲线在点 处的切线.T问题: (1)割线 的斜率 与切线 的斜率 有什么关系？来源:学优高考网 gkstknnkTk图 3.1-2(2)切线 的斜率 为多少？PTk容易知道,割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 时,n 0()nfxfnPP无限趋近于切线 的斜率 ,即nk 000)(lim()xxffx说明: (1)设切线的倾斜角为 ,那么当 时,割线 的斜率,称为曲线在点 处的切线的斜率.0xPQ这个概念: 提供了求
3、曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0x(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数 在 处的导数等于在该点 处的切线的斜率,)(xfy00(,)xf即 00()limxff k说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 点的坐标;P求出函数在点 处的变化率 得到曲线在点0x000()()lixfxff k的切线的斜率;0(,)xf利用点斜式求切线方程.
4、(三)导函数由函数 在 处求导数的过程可以看到,当 时, 是一个确定的)(fy0x0x0()f数,那么,当 变化时,便是 的一个函数,我们叫它为 的导函数.x )(f记作: 或 ,即 .()f0()limxffy注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数 在点 处的导数 、导函数 、导数之间的区别与联系fx00)f()fx(1)函数在一点处的导数 ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极(限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的,就是函数 的导函数.)(f(3)函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值,这也是求()fx00()fxf
5、x0函数在点 处的导数的方法之一.三、典例分析例 1 (1)求曲线 在点 处的切线方程.1)(2fy)2,(P(2)求函数 在点 处的导数.3x,)解: (1)22210 0()1()|limlimx xxy 所以,所求切线的斜率为因此,所求的切线方程为 即()yy(2)因为2211133|lilili3()6x xxy 所以,所求切线的斜率为 ,6因此,所求的切线方程为 即()y60y例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ,根据2()4.96.510hxx图像,请描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化情况.()ht01t2解: 我们用曲线 在 、 、 处的切线,()
6、t012刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况.h(1)当 时,曲线 在 处的切线 平行于 轴,0tt00lx所以,在 附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当 时,曲线 在 处的切线 的斜率 ,1t()t11l1()0ht所以,在 附近曲线下降,即函数 在 附近单调递减.24.96.50hxx1t(3)当 时,曲线 在 处的切线 的斜率 ,来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网 gkstk2t()t2l2()t所以,在 附近曲线下降,即函数 在 附近单调递减2.2t从图 3.1-3 可以看出,直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度,1ll这说明曲线在 附近比在 附近下降的缓慢.1t2t例
7、 3 如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度 (单位: )随时间 (单位:)cft/mgLt)变化的图象.根据图像,估计 时,血管中药物浓度的瞬时变min0.2,4.608t化率(精确到 ).0.解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 在此时刻的导数,()ft从图像上看,它表示曲线 在此点处的切线的斜率.()ft如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作 处的切线,并在切线上去两点,如 , ,0.8t(0.791)(.048)则它的斜率为 ,所以.4091.47kf下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4来源:学优高考网四、课堂练习1.求曲线 在点 处的切线.3)(xfy(1,)2.求曲线 在点 处的切线.42五、回顾总结1.曲线的切线及切线的斜率.2.导数的几何意义.
