1、 ORPdrOO1.3.2 球的体积和表面积教学目的：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式 和表面积公式 解决有关问题34VR24SR教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学过程：一、复习引入：1 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球 O2球的截面：用一平面 去截一个球 ，设 是平面 的垂线段， 为垂足，且 ，所Od得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以 为半2rRd径的一个圆，截面是一个圆面球面
2、被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平 面截得的圆叫做小圆+4两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离5 半球的底面：已知半径为 的球 ，用过球心的平面去截球 ，球被截ROO面分成大小相等的两个半球，截面圆 （包含它内部的点） ，叫做所得半 球的底面二、讲解新课：1球的体积公式： 34V2 球的表面积：设球 的半径为 ，我们把球面任意分割为一些“小球面片” ，它们的面积分别用OR表示，则球的表面积:12,iS 12iS 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可
3、近似地看成棱锥， “小锥体”的底面积 可近似地等于“小锥体”的底面积，球的iS半径 近似地等于小棱锥的高 ，因此，第 个小棱锥的体积 ，当“小锥体”Rih13iiiVhS的底面非常小时， “小锥体”的底面几乎是“平的” ，于是球的体积:，12(3)iiVhSS 又 ，且i12i RA CCA OA B CDD CBA OA B CDD CBAOA CCA O可得 ，13VRS又 ， ，434R 即为球的表面积公式2三、讲解范例：例 1 已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且,ABC，求球的表面积2AB解：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ，OR则 ，3在 中， ，RtA22
4、， ，2231()4R43 269S例 2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解：作轴截面如图所示， ，6C263A设球半径为 ，R则 22O(6)39 ，R ， 24S球 346VR球例 3表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这14个正四棱柱的表面积解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，a则作轴截面如图， ， ，14A2C又 ， ，243R9 ， ，28CaC BAOO 64231576S表四、课堂练习：1 球的大圆面积增大为原来的 倍，则体积增大为原来的 倍；42三个球的半径之比为 ，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍
5、；:3.若球的大圆面积扩大为原来的 倍，则球的体积比原来增加 倍；4.把半径分别为 3，4，5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；5.正方体全面积是 ，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 2答案：1. 8 2.3 3. 7 4. 6 5. ，436 球 O1、 O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球 O3的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解：设正方体棱长为 a，则三个球的半径依次为 、 ，2aa2 三个球的表面积之比是 3:1:321S五、小结 ：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割 求近似和 化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握六、课后作业：
