1、第二十七章 相似,专题八 利用相似求线段的比或长,类型一次相似,1.如图，在等腰ABC中，顶角A=36， BD平分ABC，试求ADAC的值.,解:由题意知ABD和BCD均为等腰三角形，,AD=BD=BC，BCDABC，, ，,设AD=BD=BC=x，AB=AC=1，则 = ，,x2=1-x,x= （负值舍去），,AD=BC= ，,ADAC= .,ADBC， ，,类型一次相似,2.在 ABCD中，AB=3，BC=5，ABC的平分线BF分别交AC于点E，交AD于点F，试求 的值.,解:四边形ABCD是平行四边形.,BF平分ABC，ABF=CBF，,ADBC，AFB=CBF，,ABF=AFB，AF=
2、AB=3，, = ， = .,类型一次相似,3.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点P为对角线AC上一点，PEPF，分别交AB，AD于点E、F.求PEPF的值.,解:过P作PGAD于G，PHAB于H，,ABCD为矩形，PGPH，,EPH+EPG=90，由题意PEPF，,EPG+GPF=90，EPH=GPF，,又由PGAD，PHAB，ABCD为矩形，,可得PHBC，PGCD，,RtEPHRtFPG, ., ， .,类型两次相似,4.如图，四边形ABCD和AEFG均为正方形，边长分别为3和6，边CD与AE相交于点P，边AD的延长线交边EF于N，试求BPNG的值.,又AD=AB，AE=AG，
3、,又BAP=NAG，,APBANG,解:先证APDANE，得 ，, ，, .,类型两次相似,5.如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，点G恰好在矩形ABCD的对角线AC上，延长BG交CD于F，连接EF. （1）求证：BEEF；（2）求 的值.,解:（1）证明EFDEFG,BEF=90；,（2）先证ABEDEF,ABEBCA,又 ，, =2，, ，即 .,类型唯一解问题,6.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边的中点，点F，G分别在AB，CD上，且FEG=90，若BF=1，CG=3，试求FG的长.,解:四边形ABCD是矩形，B=C=90，,FEG=90,1+2
4、=90，,又2+3=90,1=3,BEFCGE, ,即BECE=13=3,又E为BC边中点，,BE=EC，BE=EC= ,EF= = =2,EG= = = ,FG= = =4.,类型唯一解问题,7.已知等边ABC边AB上一动点P，连接PC，在PC上方作等边PDC，连接AD，CD=3. （1）如图1，求证：ADBC;,解:（1）证明：BCPACD,（2）如图2，若AP=2BP，AC与PD相交于N点，求DN的长； （3）在（2）的知件下，若PFCD交AC于点E，交CD于点F，求PE的长.,CAD=B=ACB=60,ADBC;,（3）取DN中点H，连FH，,（2）CDNCBP DN=1;,再证FHN
5、EPE=4EF，PF= ，,PE= PF= .,类型唯一解问题,8.如图，在RtABC中，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45（A，D，E按逆时针方向），如图，若点D在线段BC上运动，DE交AC于点E. （1）ABD与DCE相似吗？为什么？,解:（1）ABDDCE，理由如下：在RtABC中，,（2）当ADE为等腰三角形时，求AE的长.,BAC=90,AB=AC=2,B=C=45,又ADE=45,ADB+EDC=EDC+DEC=135,ADB=DEC,ABDDCE;,（2）当ADE为等腰三角形时，分以下三种情形讨论.,类型唯一解问题,DE=AE,DE=AE,ADE=DAE=45,AED=90,此时E为AC的中点，,AD=AE，此时点D与点B重合，,AE=AC=2；,AD=DE，AD=DE，由于ABDDCE,ABDDCE,AE= AC=1;,2 -x=2,x=2 -2,BD=CE,设BD=CE=x，由勾股定理得BC=2 ,DC=2 -x,AE=AC-CE=4-2 .综上所述，AE的长为1、2或4-2 .,
