1、1两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线 l1，l 2，其斜率分别为 k1，k 2，有 l1l 2_，特别地，当直线l1，l 2 的斜率都不存在时，l 1 与 l2 的关系为_；注意到任意两条直线 l1 和 l2 满足k1k 2_或_(2)垂直：如果两条直线 l1，l 2 的斜率都存在，且分别为 k1，k 2，则有 l1l 2_，特别地，若直线 l1：xa，直线 l2：yb，则 l1 与 l2 的关系为_2两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有惟一解，则两条直线A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0.)_，此解就是_；若方程组无解，则两条直
2、线_，此时两条直线_；若方程组有无穷多解，则两条直线_3两个距离公式(1)点到直线的距离：点 P0(x0，y 0)到直线 l：AxByC 0 的距离 d (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线 l1：Ax ByC 10 与 l2：AxBy C 20(C 1C2)间的距离d_4过两直线交点的直线系方程若已知直线 l1：A 1xB 1yC 10 与 l2：A 2xB 2yC 20 相交，则方程 A1xB 1yC 1(A 2xB 2yC 2)0(其中 R ，这条直线可以是 l1，但不能是 l2)表示过 l1 和 l2 交点的直线系方程【答案】1(1)k 1k 2 l 1l 2 l 1l 2 l1
3、与 l2 重合(2)k1k21 l 1l 22相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3(1) (2)|Ax0 By0 C|A2 B2 |C1 C2|A2 B2基础自测1 若直线 l 过点(1，2)，且与直线 y x 垂直，则直线 l 的方程是( )23A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解：由条件知，直线 l 的斜率 k ，其方程为 y2 (x1)，即 3x2y10.故选 A.32 322 若直线 2ay10 与直线(3a1)xy10 平行，则实数 a 等于( )A B C D12 12 13 13解：因为两直线平行，所以 3a10，即 a .故选 C.133 “a 1
4、”是“直线 xy0 和直线 xay 0 互相垂直”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4 已知直线 l1 的方程为 3x 4y70，直线 l2 的方程为 6x8y10，则直线 l1 与 l2 的距离为_解：l 2 可以化为 3x4y 0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得 d .故填 .12 | 7 12|5 32 325 若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位后，回到原来位置，那么直线 l 的斜率是_解：显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb ，据题意，平移后的直线 l：yk(x3) b1与直
5、线 l 重合，b3kb 1，得 k .故填 .13 13典例讲解类型一 两条直线平行、重合或相交例一 已知两条直线：l 1：x my60，l 2：(m 2)x 3y2m 0，当 m 为何值时，l 1 与 l2：(1)相交；(2)平行；(3) 重合(1)当 m1 且 m3 时， ，方程组有唯一一组解A1A2B1B2l 1 与 l2 相交(2)当 m1 时， 且 ，方程组无解A1A2 B1B2 A1A2C1C2l 1 与 l2 平行(3)当 m3 时， ，方程组有无穷多组解A1A2 B1B2 C1C2l 1 与 l2 重合【评析】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：
6、若 ，则A1A2 B1B2C1C2直线 A1xB 1yC 10 与 A2xB 2yC 20 平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零变式 当实数 m 为何值时，三条直线 l1：3xmy10，l 2：3x2y50，l 3：6xy50 不能围成三角形解：记 l1，l 2，l 3 三条直线的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则 k2 ，k 36.32若 l1 l2， 或 l1 l3， 则 k1 k2 ， 或 k1 k3 6， 解 之 得 m 2 或 m ；32 12若三条直线交于一点，由 得 l2 与 l3 交于点(1，1) ，将点(1，1)代入3x 2y 5 0，6x y 5 0) x 1
7、，y 1，)3xmy10，得 m2.当 m2 或 时，l 1，l 2，l 3 不能围成三角形12类型二 两条直线垂直例二 直线 l1：x3y7 与直线 l2：kxy2，以及与 x，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数 k 的值解：结合图形分析，如图所示，由直线 l1，l 2 及 x，y 轴所围成四边形为 OABC，其有外接圆的充要条件是对角互补COA90，CBA 90，即 l1l 2.k 1，解得 k3.( 13)【评析】(1)给定两直线：l 1：A 1xB 1yC 10( 或 yk 1xb 1)；l 2：A 2xB 2yC 20(或 yk 2xb 2)直线 l1l 2 的充要条件是 A1A2
8、B 1B20( 或 k1k2-1)认识此充要条件请把握好以下两点：k 1k21 是A1A2B 1B20 在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；A 1A2B 1B20 含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补变式 已知直线 l1：ax (a 1)y10，l 2：xay2 0，则“a 2”是“l 1l 2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件类型三 对称问题例三
9、 求直线 l：x2y6 0 关于点 M(1，1)对称的直线 l的方程解法一：取 l 上的两点 A(0，3)，B(6，0) ，求出它们关于点 M 的对称点，A(2，1)，B(4，2)，再用两点式求出 l的方程为 x2y 0.解法二：设点 P(x，y)为所求直线 l上的任意一点，则点 P关于点 M 在直线 l 上的对称点为 P(x，y)由 得 代入直线 l 的方程得： 1 x x2 ，1 y y2 ) x 2 x，y 2 y，)(2x)2(2y)60，得 x2y0，即 x2y0 为所求直线 l的方程【评析】利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求 l，此解法适用于求曲线 F(x，y)0 关于点
10、对称的曲线方程，具有普遍意义有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：在已知曲线上任取一点M(x，y)；求出这点关于对称中心或对称轴的对称点 M(x，y)；已知曲线方程用 x，y 表示，求出所求曲线的方程 G(x，y)0.变式 已知三角形的一个顶点 A(4，1) ，它的两条角平分线所在直线的方程分别为 l1：xy10 和l2：x10，求 BC 边所在直线的方程类型四 距离问题例四 已知点 P 到两个定点 M(1，0)，N
11、(1，0) 的距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线2PN 的方程解：易知直线 PM 的斜率 k 存在，设直线 PM 的方程为 yk(x1)，则点 N 到直线 PM 的距离d 1，解得 k .|2k|1 k2 33设 P(x，y)，又 ，则 ，整理得 x2y 26x10.|PM| 2|PN| （x 1）2 y2 2 （x 1）2 y2联立 解得y 33（x 1），x2 y2 6x 1 0，) x 2 3，y （3 1）)或 x 2 3，y （3 1）.)点 P 的坐标为(2 ，( 1)或(2 ，( 1)3 3 3 3故直线 PN 的方程为 yx1 或 yx1.【评析】解决本题
12、的关键是处理好两个距离问题，一是 N 点到直线 PM 的距离，二是点 P 到两个定点M，N 的距离之比为 .实际上是两个轨迹问题，点 P 就是这两个轨迹的交点，求出交点后，进而可以求出2直线 PN 的方程变式 已知直线 l：AxBy C0(A ，B 不全为 0)，两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，若(Ax1By 1C)(Ax 2By 2C)0 ，且 ，则直线 l( )|Ax1 By1 C| |Ax2 By2 C|A与直线 P1P2 不相交 B与线段 P2P1 的延长线相交C与线段 P1P2 的延长线相交 D与线段 P1P2 相交类型五 直线系及其应用例五 求证：动直线(m 2
13、2m3)x (1mm 2)y3m 210(其中 mR) 恒过定点，并求出定点坐标证法一：令 m0，则直线方程为 3xy10，再令 m1 时，直线方程为 6xy40，联立，得方程组 3x y 1 0，6x y 4 0，)解得 x 1，y 2. )将点 A(1，2)代入动直线(m 22m 3)x (1mm 2)y3m 210 中，(m22m3)(1) (1mm 2)23m 21(312)m 2( 22)m 2130，故点 A(1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线 (m22m3)x(1 m m 2)y3m 210 恒过定点 A.证法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理得，m2(xy3) m(2
14、xy)3x y10，不论 m 为何实数，式恒为零，有 解得x y 3 0，2x y 0，3x y 1 0，) x 1，y 2. )故动直线恒过点 A(1，2) 【评析】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给 m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但 m 只是取两个特殊值，是否 mR 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按 m 的降幂排列，由于 mR 恒成立，所以得关于 x，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：yy 1k(xx 1)和 xx 1.(2)
15、平行于直线 AxBy C0 的直线系：AxBy0(C)(3)垂直于直线AxByC 0 的直线系：BxAy 0.(4)过 A1xB 1yC 10 与 A2xB 2yC 20 的交点的直线系：A1xB 1yC 1 (A2xB 2yC 2)0( 不包括直线 A2xB 2yC 20)变式 已知直线 l：(ab)x(ab)y 20，其中 a，b 满足 3ab20.求证：直线 l 恒过一定点证明：由已知得 b3a2，则直线 l 的方程可化为(4a2)x(2a 2)y20，整理得a(4x2y)2x2y20.令 解得4x 2y 0，2x 2y 2 0，) x 1，y 2.)点(1，2) 恒满足直线 l 的方程
16、， 直线 l 恒过定点(1，2)【名师点睛】1无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况2两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合3如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系) ，并记住结论，往往会使问题更易于解决4求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题5运用公式 d 求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中 x，y 的系数化成相等的系|C1 C2|A2 B2数，求两平行直线间的距离也
17、可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离这一方法体现了化归思想的应用6点(x 0，y 0)到直线 ykxb(即 ykxb0) 的距离公式 d 记忆容易，对于知 d 求 k，b 很|y0 kx0 b|1 k2方便7过定点的直线系方程反映了人们从典型到一般，从具体到抽象又反过来为具体服务的认识规律，因此，在解决此类问题时注意应用直线系方程求解，也要注意其他几种常用的直线系方程的应用8对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决，对关于
18、原点对称、坐标轴对称、直线 yxb 对称等，也要予以掌握，以提高解题的速度和准确性【针对训练】1过点 A(2， 3)且垂直于直线 2xy50 的直线方程为( )Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y50解：由点斜式得所求直线方程为 y3 (x2) ，即 x2y 40.故选 A.122已知两条直线 yax2 和 3x(a2)y10 互相平行，则 a 等于( )A1 或3 B1 或 3 C1 或 3 D1 或33若直线 l1：yk (x4)与直线 l2 关于点(2，1) 对称，则直线 l2 恒过定点( )A(0，4) B(0，2) C(2，4) D(4 ，2)解：直线 l1 与 l2 关
19、于点(2，1) 对称，且直线 l1 过点(4 ，0)，直线 l2 必过点(4，0) 关于点(2，1)的对称点(0，2)故选 B.4已知直线 3x4y30 与直线 6xmy 140 平行，则它们之间的距离是( )A B C8 D21710 175解：由题意得 ，解得 m8.直线 6xmy140 可化为 3x4y70.两平行线间的距离为36 4m 314d 2.故选 D.| 3 7|32 425设 a，b，c 分别是ABC 中A ，B，C 所对边的边长，则直线 sinAxayc0 与bxsinBysinC 0 的位置关系是 ( )A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直解：由正弦定理得到 ，asin
20、A bsinB两直线的斜率分别是 k1 ，k 2 ，sinAa bsinBk 1k2 1，两直线垂直sinAa bsinB故选 C.6已知直线 l1：ax 4y2 与直线 l2：2x5yb0 垂直，点 (1，c)为垂足，则 abc 等于( )A4 B20 C0 D247经过两条直线 2x3y100 和 3x4y20 的交点，且垂直于直线 3x2y40 的直线方程为_解法一：解方程组 求出交点坐标( 2 ，2)，设所求直线的斜率为 k，则 k 1，解得2x 3y 10 0，3x 4y 2 0，) 32k .所求直线的方程为 y2 (x2) ，即 2x3y 20.23 23解法二：设所求直线 l
21、的方程为 2x3y10(3x4y2)0，即(2 3)x(4 3)y(102) 0，其中斜率为 k ，直线 l 与 3x2y40 垂直， 1，解得 12.2 33 4 2 33 432故所求直线方程为23(12)x 4(12) 3y102(12)0.即 2x3y20.故填 2x3y20.8( )l1，l 2 是分别经过 A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l 2 间的距离最大时，2013北 京 模 拟直线 l1 的方程是_ 解：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，A(1，1) ，B(0，1)，k AB 2，两平行线的斜率为 k .直线 l1 的
22、方程是 y1 (x1)，即 x2y30. 1 10 1 12 12故填 x2y30.9已知ABC 的顶点 B(2，1) ，C(6，3)，其垂心为 H(3，2)，求顶点 A 的坐标解：设顶点 A 的坐标为(x，y)ACBH ，ABCH， kACkBH 1，kABkCH 1，)即y 3x 6( 15) 1，y 1x 2( 13) 1，)化简为 解之得y 5x 33，y 3x 5，) x 19，y 62.)A 的坐标为(19，62)10设一直线 l 经过点(1，1)，此直线被两平行直线 l1：x2y10 和 l2：x2y30 所截得线段的中点在直线 xy10 上，求直线 l 的方程解法二：与 l1，l 2 平行且与它们距离相等的直线方程为：x2y 0，即 x2y20， 1 32由 得 M .(以下同解法一)x 2y 2 0，x y 1 0) (43，13)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为 x2y20，设所求方程为：(xy1)(x2y2)0，(1，1) 在此直线上，111(122)0，解得 3，代入得 2x7y50.解法四：设所求直线与两平行线 l1，l 2 的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由 x1 2y1 1 0，x2 2y2 3 0)
