1、【知识分析】解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题，主要以选择题、填空题出现常与集合的交、并、补结合，难度不大在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法，注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程，书写时注意解集写成集合或区间的形式【典型例题】1(1)(2012重庆，2)不等式 0 的解集为( )x 12x 1A.(12， 1B.12， 1C. 1，)( ， 12)D. 1，)( ， 12(2)(2015广东文，11)不等式x 23x40 的解集为_(用区间表示)(3)(2013江苏，11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)x 24x，
2、则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_【解析】 (1)不等式 0x 12x 1解得 x1，（ x 1） （ 2x 1） 0，2x 1 0， ) 12不等式的解集为 .(12， 1(2)由x 23x40 得 x23x40，即(x4)(x1)0，解得4x1.(3)当 x0 时，f(x)x 24x，令 x0，则x0，f(x)x 24x.f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x)f(x)，f(x)x 24x，即 x0 时，f(x)x 24x.f(x)x，即 或 或x 0，x2 4x x) x 0， x2 4x x) x 0，0 x.)解得5x0 或 x5，不等式 f(x)x 的解集为(5，0)(5
3、，)【答案】 (1)A (2)(4，1) (3)(5，0)(5，),解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于 0，另一端为 0，即化为ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当 0 时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集分式不等式的解法(1) 0(g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围为_(2)由已知得 3xb，h（ x） 4 x22所以 h(x)6x2b .4 x2因为 h(x)g(x)恒成立，所以 6x2b ，4 x2 4 x2即 3xb 恒成立4 x2在同一坐标系中画出 y3xb
4、 及半圆 y 的图象，如图所示4 x2当直线 3xyb0 与半圆相切时，d 2，此时，b2 .b10 10结合图象可知，b 的取值范围为(2 ，)10【答案】 (1) (2)(2 ，)(22， 0) 10【名师点拨】(1)结合二次函数的图象及性质只需满足 f(m)0 且 f(m1)0 即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出 h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后的两个函数的图象，利用数形结合的思想求解一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方；恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定
5、的区间上全部在 x 轴下方(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围一般地，af(x)恒成立时，应有 af(x) max，af(x)恒成立时，应有 af(x) min.(2015河北石家庄一模，13)对任意的 k1，1，函数 f(x)x 2(k4)x42k 的值恒大
6、于零，则 x 的取值范围是_【针对训练】1(2016河北张家口质检，3)对于任意实数 x，不等式(a2)x 22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，2) B(，2C(2，2) D(2，21D 当 a20，即 a2 时，40，恒成立；当 a20 时，则 a 2 0，4（ a 2） 2 16（ a 2） 0， )解得2a2，2a2.故选 D.2(2016天津河东一模，7)在 R 上定义运算：xyx(1y)，若对任意 x2，不等式(xa)xa2 都成立，则实数 a 的取值范围是( )A1，7 B(，3C(，7 D(，17，)2C 由题意可知，不等式(xa)xa2 可化为(xa
7、)(1x)a2，即xx 2aaxa2，则 a 对 x2 都成立，即 a (x(2，)，x2 x 2x 2 (x2 x 2x 2 ) min由于 (x2) 3x2 x 2x 2 4x 22 37(x2)，（ x 2） 4x 2当且仅当 x2 ，即 x4 时，等号成立，4x 2a7，故选 C.3(2016安徽合肥模拟，6)“已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集为(1，2)，解关于 x 的不等式 cx2bxa0.”给出如下的一种解法：解：由 ax2bxc0 的解集为(1，2)，得 a b c0 的解集为 ，即关于 x 的(1x)2 (1x) (12， 1)不等式 cx2bxa0 的解集为
8、.(12， 1)参考上述解法：若关于 x 的不等式 0 的解集为 ，则关于 x 的bx a x bx c ( 1， 13) (12， 1)不等式 0 的解集为( )bx a x bx cA(1，1)B. ( 1， 12) (13， 1)C. ( ， 12) (13， 1)D. ( ， 12) (13， )3B 根据题意，由 0 的解集为bx a x bx c ，( 1， 13) (12， 1)得 0 的解集为b x a x b x c ，( 1， 12) (13， 1)即 0 的解集为bx a x bx c .( 1， 12) (13， 1)故选 B.4(2016江苏苏州一模，11)已知函数
9、f(x) 则满足不等式 f(1x 2)x2 1， x 0，1， x 0 )f(2x)的 x 的取值范围是_4 【解析】 当 x1 时，无解当1x0 时，1x 20，f(1x 2)f(2x)化为(1x 2)211，恒成立当 0x1 时，1x 20，2x0，f(1x 2)f(2x)化为(1x 2)21(2x) 21，即1x 22x，(x1) 22，0x 1.2当 1x 20 时，无解综上可知1x 1.2【答案】 (1， 1)25(2015重庆模拟，14)设 0，不等式 8x2(8sin )xcos 20 对 xR 恒成立，则 的取值范围为_5 【解析】 因为不等式 8x2(8sin )xcos 2
10、0 对 xR 恒成立，所以 64sin 232cos 20，即 64sin23264sin 20，解得 sin .12 12因为 0.所以 .0， 6 56， 【答案】 0， 6 56， 6(2015山东青岛模拟，15)已知 a 为正的常数，若不等式 1 对一切非负实1 xx2 x2a数 x 恒成立，则 a 的最大值为_6 【解析】 原不等式可化为 1 ，令 t，t1，则 xt 21.所以x2a x2 1 x 1 x1 t 对 t1 恒成立，所以 对（ t2 1） 2a t2 12 t2 2t 12 （ t 1） 22 （ t 1） 2a 12t1 恒成立又 a 为正的常数，所以 a2(t1)
11、 2min8，故 a 的最大值是 8.【答案】 8【点击高考】1(2016课标，1，易)设集合 Ax|x 24x30，则 AB( )A. B.( 3， 32) ( 3， 32)C. D.(1，32) (32， 3)2(2016课标，1，易)设集合 Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则 ST( )A2，3 B(，23，)C3，) D(0，23，)2D Sx|x2 或 x3，Tx|x0，ST(0，23，)3(2015天津，4，易)设 xR，则“|x2|1”是“x 2x20”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3A 由|x2|11x211x3.由 x2
12、x20x2 或 x1.而(1，3)(，2)(1，)，所以“|x2|1”是“x 2x20”的充分而不必要条件，故选 A.4(2013安徽，6，中)已知一元二次不等式 f(x)12)f(10x)0 的解集为( )A.x|x lg 2)B.x| 1 lg 2)D.x|x12)f(x)0 的解集为 .x| 10 得，10 时无解，所以a0，所以112， )即 a2 a 10， )解得 0 时均有 x2x10，由二次函数的图象知，显然不成立，a1.(2)当 a0，(a1)x10 时均有 x2ax10.二次函数 yx 2ax1 的图象开口向上，不等式 x2ax10 在 x(0，)上不能恒成立，a1 时，令 f(x)(a1)x1，g(x)x 2ax1，两函数的图象均过定点(0，1)a1，f(x)在 x(0，)上单调递增，且与 x 轴交点为 ，即当(1a 1， 0)x 时，f(x)0.(0，1a 1) ( 1a 1， )又二次函数 g(x)x 2ax1 的对称轴为 x 0，则只需 g(x)x 2ax1 与 x 轴的右交a2点与点 重合，(1a 1， 0)如图所示，则命题成立，即 在 g(x)图象上，所以有 10，整理得(1a 1， 0) ( 1a 1)2 aa 12a23a0，解得 a ，a0(舍去)32
