1、计算题1试用牛顿法求 的最优解，设 。2185fXx01TX初始点为 ，则初始点处的函数值和梯度分别为0T，沿梯度方向进行一维搜索，有1207640fxX01000124f 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件0 min 140514020142018i 2 XffXf，006596 从而算出一维搜索最佳步长 05960.2641则第一次迭代设计点位置和函数值 01.58309X，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便124.5830fX可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数 的极小点和极小值，设搜索区间20f（迭代一次即可）,0.2,1ab解：显然此时，搜索区间 ，首先插入两点
2、，由式,0.2,1ab12和1()1.68.56b2 94a计算相应插入点的函数值 。2.,02.1ff因为 。所以消去区间 ，得到新的搜索区间 ，12ff1,a1,b即 。1,0.56,ba第一次迭代：插入点 ， 1.9420.56.18(0.56).81相应插入点的函数值 ，129,49ff由于 ，故消去所以消去区间 ，得到新的搜索区间12f1,a，则形成新的搜索区间 。至此完成第一次迭1,b6.0,1b代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数 +5 的极小点，设 。2165fXx02TX解：由 ，则02T110223640fxf，其逆矩阵为2212022305ffxf
3、Xff120350f因此可得： 1102001026435XfXf，从而经过一次迭代即求得极小点 ，15f 0TX5fX4.下表是用黄金分割法求目标函数 的极小值的计算过程，请完2f成下表。迭代序号 a 12b 1y比较 2y0 0.2 11迭代序号 a 12b 1y比较 2y0 0.2 0.50560.6944 1 40.0626 29.49621 0.5056 0.6944 0.8111 1 29.4962 25.46905、 求二元函数 f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在 x0=0 0T 处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单
4、位向量 P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模 II II 。求 f(x1,x2)在 点处的梯度方向和数值，计算如下：)(0xf0= = =)(0f021xf0421x2II II = =)(0xf21)(ff5)(42P= 51)(0xf在 平面上画出函数等值线和 （0,0）点处的梯度方向 P，如图 2-1 所示。从图中可21x0以看出，在 点函数变化率最大的方向 P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方0向。6、 用共轭梯度法求二次函数 f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？解： 取初始点 x0 T则 g0= 244)(012xf取 d0=-g0
5、= 沿 d0 方向进行一维搜索，得x1=x0+ d0=00214其中的 为最佳步长，可通过 f（x 1）=0)(,min1求得 =04则 x1 = =0021为建立第二个共轭方向 d1，需计算 x1 点处的梯度及系数 值，得g1= f（x 1）=2421x05210g从而求得第二个共轭方向d1=-g1+ d0= 2342再沿 d1 进行一维搜索，得x2=x1+ d1=1123其中的 为最佳步长，通过 f（x 2）=10)(,min12求得 =11则 x2= =11234计算 x2 点处的梯度g2= f（x 2）=04212x说明 x2 点满足极值必要条件，再根据 x2 点的海赛矩阵G(x2)=
6、 是正定的，可知 x2 满足极值充分必要条件。故 x2 为极小点，即 4*而函数极小值为 。8)(*xf7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t. h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解： 该问题的约束最优解为 。8.0)(,2.061*xfxT由图 4-1a 可知，约束最优点 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。用间接解法求解时，可取 =0.8，转换后的新目标函数为2)2(8.0)1()(),( 1221 xxx可以用解析法求 min ，即令 ，得到方程组208.)2(1x6.)(2解此方程组，求得的无约束最优解为： 其结果和原约束最8.0),(.012* xxT优解相同。图 4-1b 表示出最优点 为新目标函数等值线族的中心。*x图 4-1a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线
