1、第 3课时 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.了解直线与平面的三种位置关系 .2.理解直线在平面外的概念 .3.了解平面与平面的两种位置关系 .重点:空间直线与平面、平面与平面的位置关系,能用数学语言正确表达它们之间的关系 .难点:用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系 .如图,线段 A1B 是长方体 ABCDA1B1C1D1 的一条对角线 .问题 1:结合教材,分析直线 A1B 与长方体六个表面所在平面的关系 .(1)直线 A1B 上所有的点都在 平面 AA1B1B 上,说明直线 A1B 在 平面 AA1B1B 内,记作: A1B平面AA1B1B ; (2)直线 A1B 与 平面
2、 CC1D1D 没有公共点,说明直线 A1B 与 平面 CC1D1D 平行,记作: A1B平面 CC1D1D ; (3)直线 A1B 与 平面 CC1B1B 只有一个公共点,说明直线 A1B 与 平面 CC1B1B 相交,记作: A1B平面CC1B1B=B ,在长方体表面所在平面中还有三个平面与直线 A1B 相交,分别是 平面 AA1D1D 、 平面 ABCD 、 平面 A1B1C1D1 ; (4)平面 AA1B1B 与平面 CC1B1B 有一条公共直线 BB1,说明平面 AA1B1B 与平面 CC1B1B 相交于直线 BB1,记作: 平面 AA1B1B平面 CC1B1B=BB1 ; (5)平
3、面 ABCD 与 平面 A1B1C1D1 没有公共部分,说明平面 ABCD 与 平面 A1B1C1D1 平行,记作: 平面ABCD平面 A1B1C1D1 . 问题 2:根据直线与平面、平面与平面的位置关系完成下面表格 .直线 l 在平面 内,符号语言: l 有无数个公共点 直线与平面的位置关系直线 l 与平面 相交于点 A,符号语言: l =A 有一个公共点 平面 与平面 平行,符号语言: 没有公共点 平面与平面的位置关系平面 与平面 相交于直线 l,符号语言: =l 有无数个公共点,且所有公共点构成了一条公共直线问题 3:两平面的位置关系的画法 .(1)两个平面平行的画法两个平面平行时,要注
4、意把表示平面的平行四边形画成 对应边平行 ,如图 ,而图 的画法则不恰当 . (2)两个平面相交的画法 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边 . 再画出表示两个平面交线的线段 . 过图 中线段的端点分别引线段,使它们平行且等于 中表示交线的线段 . 画出图中表示平面的平行四边形的第四边(被遮住的线,可以用虚线,也可以不画) .我们所在的教室的天花板与地面之间有什么位置关系?墙面和地面之间有什么位置关系?如果把教室的白炽灯管看作一条线段,则此线段所在的直线与地面之间有什么位置关系呢?1.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( ).A.有限个 B.无限个C.
5、没有 D.没有或无限个【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点 .【答案】D2.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( ).A.平行 B.相交C.平行或重合 D.平行或相交【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交 .【答案】D3.若 a ,b ,则 a 与 b 的位置关系是 . 【解析】可能异面,也可能存在平面 ,使 a ,且 b ,即 a与 b仍可以在同一平面内 .【答案】平行、相交或异面4.如图,四棱锥 P-ABCD,有同学说平面 PAD平面 PBC=P,这句话对吗?请说明理由 .【解析】 这种说法
6、错误,因为两个平面相交,公共部分是一条直线,而不是一个点,图中的平面 PAD与平面 PBC都只是画出了其中一部分,故感觉好像只交于一点,其实也是交于一条直线 .直线与平面的位置关系已知:如图, A l,A ,B ,B l.求证:直线 l 和平面 相交 .【方法指导】可用反证法证明 .【解析】由已知直线 l和 有公共点 A, 直线 l不平行于平面 . 假设直线 l和 不相交,则 l ,B l,B ,与已知 B 矛盾, 假设不成立,即直线 l和平面 相交 .【小结】证明点、直线、平面的位置关系时,若直接证明比较困难,则可考虑用反证法 .平面与平面的位置关系如图,平面 平面 =l ,直线 a平面 ,
7、直线 b平面 ,若 a 和 b 相交 .求证: a 和 b 的交点在直线 l 上 .【方法指导】利用两平面的公共点都在公共直线上进行推导 .【解析】 设 a b=A,则 A a,A b,因为 A a,a ,所以 A ,又因为 A b,b ,所以 A ,所以 A ,又因为 =l ,所以 A l,即 a和 b的交点在直线 l上 .【小结】利用两平面相交于一条直线,可以解决三线共点和三点共线问题 .正六面体中的截面问题如图所示,在正方体 AC1 中, E、 F、 G、 H 分别是所在棱的中点 .E、 F、 G、 H 四点共面吗?若 E、 F、 G、 H 四点共面,试画出过四点 E、 F、 G、 H
8、的平面与正方体的截面 .【方法指导】(1)要判断四点共面可以考虑由四点能否构成相交直线或平行直线 .(2)要画 E、 F、 G、 H确定的平面与正方体的截面,需画出该面与正方体各面的交线,由两点确定一条直线可知,要画交线只要找到两公共点即可,因此可先观察图中是否已经存在公共点,若存在,则再找另一个公共点即可 .【解析】连接 EF,设 EF与 DC交于点 P,由 EBF PCF 可得 PC=EB=AB,同理 HG与 CD相交,设交点为 P1,同样可得 P1C=C1G=AB,即 P1与 P重合,因此 EF与 GH相交于 P点,即 E、 F、 G、 H四点共面 .作截面的关键在于作出截面与各个侧面的
9、交线,而要确定两个平面的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点 .延长 HG、 DD1,相交于点 R,延长 FE交 DA的延长线于点 Q,则点 R、 Q是截面与侧面 AD1的公共点,连接 RQ,RQ与 A1D1、 A1A分别交于点 M、 T,连接 GM、 TE,可得截面与正方体各面的交线分别为EF、 FH、 HG、 GM、 MT、 TE(如图所示) .【小结】截面的主要做法是交线法,即先作出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线,再找出各有关截线(或其延长线)与此交线的交点 .如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内的直线的位置关系是 . 【答案】相交或异面已知平面 , 满足
10、,从点 O 引出两条直线 l1,l2, l1=A, l2=B, l1=C, l2=D,求证:AB CD.【解析】 因为 l1,l2是相交直线,所以 l1,l2确定一个平面,记作 ,则 A,B,C,D ,所以 AB,CD是共面直线,因为 ,AB ,CD ,所以 AB,CD不可能是相交直线,所以 AB CD.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别为 CC1、 AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线,并证明 .【解析】 F 为 AA1的中点,且 D1F不平行 DA, 延长 D1F交 DA的延长线于点 M.D 1F平面 BED1F, 点 M为平面 BE
11、D1F与平面 ABCD的交点, 点 B为 BED1F与平面 ABCD的公共点, 直线 MB为平面 BED1F与平面 ABCD的交线 .1.用符号表示“点 A 在直线 l 上, l 在平面 外”,正确的是( ).A.A l,l B.A l,lC.Al,l D.Al,l【答案】B2.已知直线 a,b 和平面 ,下列说法中正确的是( ).A.若 a ,b ,则 a bB.若 a ,b ,则 a bC.若 a b,b ,则 a D.若 a b,a ,则 b 或 b【答案】D3.一个平面把空间分成 部分,两个平面可以把空间分成 部分 . 【解析】一个平面把空间分成 2部分,两个平面可以把空间分成 3或
12、4部分 .【答案】2 3或 44.若直线 l 上有无数个点不在平面 内,请说明直线 l 与平面 可能的位置关系 .【解析】“无数个点不在平面 内”有两种情况:所有点都不在平面 内,或者可以有一点在平面 内 .故直线 l与平面 的位置关系为直线 l在平面 外 .(2011 年四川卷) l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( ).A.l1 l2,l2 l3l1 l3B.l1 l2,l2 l3l1 l3C.l1 l2 l3l1,l2,l3 共面D.l1,l2,l3 共点 l1,l2,l3 共面【解析】对于 A,直线 l1与 l3可能异面;对于 C,直线 l1、 l3可能构成三棱柱三条棱而不共面;对于 D,直线 l1、 l2、 l3相交于同一个点时不一定共面 .所以选 B.【答案】B
