1、学优中考网 2011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题(浙江省宁波滨海学校数学组)【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例 1】 （重庆）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=2 错误！未找到引用源。 ，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP=3一动点
2、E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点发发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边EFG，使 EFG 和矩形ABCD 在射线 PA 的同侧设运动的时间为 t 秒（t0） （1）当等边EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；（
3、3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使AOH 是等腰三角形？若存大，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （2）按照等边EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6 四种情况讨论。 （3）当AOH 是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求 t 的值。【例 2】 （广西梧州）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD6cm ，AB8cm，BC14cm.动点 P、Q 都从点 C 出发，点 P 沿 CB 方向做匀速运动，点 Q沿 CDA 方向做匀速运动，当 P、Q 其中一点到达终点时，另一点
4、也随之停止运动（1）求 CD 的长；（2）若点 P 以 1cm/s 速度运动，点 Q 以 2 cm/s 的速度运动，连接 BQ、PQ，设BQP 面积为2S（cm 2） ，点 P、Q 运动的时间为 t（s） ，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）若点 P 的速度仍是 1cm/s，点 Q 的速度为 cm/s，要使在运动过程中出现 PQDC，请你直接a写出 的取值范围a【思路点拨】 （1）作辅助线：过 D 点作 DHBC。 （2）分 Q 在 CD 和 Q 在 DA 上两种情况讨论。 （3）要使运动过程中出现 PQDC，根据平行四边形判定，只要考虑 QDPC 即可。【例 3】
5、（山东青岛）如图，在ABC 中，ABAC10cm，BDAC 于点 D，且 BD8cm点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运动，速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQAC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F连接 PM，设运动时间为 ts(0 5)t(1)当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？(2)设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM SABC ？若存在，求出 的值；若不
6、存在，说916 t明理由；(4)连接 PC，是否存在某一时刻 ，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存在，求出t此时 的值；若不存在，说明理由t【思路点拨】(1) 假设四边形 PQCM 是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下底和高用 来表示。 （3）在假设 S 四边形tPQCM SABC 的条件下，求出 ，讨论。 （4）在假设点 M 在线段 PC916 t的垂直平分线上，求出此时 的值。学优中考网 【例 4】 （湖南湘潭）已知，AB 是O 的直径，AB=8，点 C 在O 的半径 OA 上运动，PC AB，垂足为 C，PC=5，PT 为O 的切线，切点为 T（1）如图（1） ，当
7、C 点运动到 O 点时，求 PT 的长；（2）如图（2） ，当 C 点运动到 A 点时，连接 PO、BT ，求证：POBT ；（3）如图（3） ，设 PT2= ，AC= ，求 与 的函数关系式及 的最小值yxyy【思路点拨】 （1）连接 OT。 （2）连接 AT。 （3）连接 OP、OT，应用勾股定理，可得出 与 之间的yx关系式。【学力训练】1、 （山东聊城）如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC8cm点 E、 F、G 分别从点 A、B、C 同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G
8、重合)时，三个点随之停止移动设移动开始后第 ts 时，EFG 的面积为 Scm2(1)当 1s 时，S 的值是多少？t(2)写出 S 与 之间的函数解析式，并指出自变量 的取值范围；t(3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 为何值时，以点 B、E、F 为顶t点的三角形与以 C、F、G 为顶点的三角形相似？请说明理由。2、 （吉林省）如图，梯形 ABCD 中，ADBC,BAD=90，CEAD 于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发，运动速度均为 1 cm /s, 动点 P 沿 A-B-C-E 的方向运动，到点 E 停止；动
9、点 Q 沿 B-C-E-D 的方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 s， PA Q 的面积为 y cm2， （这里x规定：线段是面积为 0 的三角形)解答下列问题：(1) 当 x=2s 时，y=_ cm 2;当 = s 时，y= _ cm2x9(2）当 5 x 14 时，求 y 与 之间的函数关系式。(3）当动点 P 在线段 BC 上运动时，求出 S 梯形 ABCD 时154y的值。（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值学优中考网 来源:xyzkw.Com3、 （江苏淮安）如图，在 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，点 P 在 AB
10、 上，AP2。.点E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止.在点 E、F运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧，设 E、F 运动的时间为 秒（ 0 ） ，正方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S.t（1）当 1 时，正方形 EFGH 的边长是 ；当 3 时，正方形 EFGH 的边长是 ；t（2） 当 0 2 时，求 S 与 的函数关系式；tt（3） 直接答出：在整个运动过程中，当
11、为何值时，S 最大？最大面积是多少？t来源:学优中考网 xyzkw4、 （贵州贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）设竖档 AB=x 米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与 AD、AB 平行）（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？（2）在图中，如果不诱钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档，那么当 x 为多少时，矩
12、形框架 ABCD的面积 S 最大？最大面积是多少？学优中考网 几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例 1】 （重庆）解：（1）当边 FG 恰好经过点 C 时，CFB=60，BF=3 t，在 Rt CBF 中，BC=2 错误！未找到引用源。 ，tan CFB= 错误！未找到引用源。 ，即 tan60=BCF。错误！未找到引用源。23BF（3）存在。理由如下：在 Rt ABC 中，tan CAB= 错误！未找到引用源。 ，CAB=30。BC3A又HEO=60，HAE= AHE=30。AE=HE=3t 或 t3。1） 当 AH=AO=3 时， （如图） ，过点 E 作 EMAH 于 M，则 AM=
13、错误！未找到引用源。 AH=错误！未找到引用源。 ，在 Rt AME 中，cosMAE 错误！未找到引用源。 ，即 cos30= 错误！未找到引用源。AE32AE，AE=错误！未找到引用源。 ，即 3t=错误！未找到引用源。 或 t3=错误！未找到引用源。 。t=3错误！未找到引用源。或 t=3+错误！未 找到引用源。 。2）当 HA=HO 时， （如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE 。又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1。即 3t=1 或 t3=1 。t=2 或 t=4。3）当 OH=OA 时， （如图） ，则OHA=OAH=30，HOB
14、=60=HEB，点 E 和点 O 重合。AE=3，即 3t=3 或 t3=3 ，t=6（舍去）或 t=0。综上所述，存在 5 个这样的 t 值，使AOH 是等腰三角形，即 t=3错误！未找到引用源。 ，t=3+错误！未找到引用源。 ，t=2，t=4，t=0。又DHHC，DHBC，C 45。 在 RtQCG 中，QGQCsinC2 tsin452t。2学优中考网 又BP BCPC14t，S BPQ BPQG （14 t）2t14tt 2。12 12当 Q 运动到 D 点时所需要的时间 t 4。S14tt 2（ 0t4 ） 当 Q 在 DA 上时，过 Q 点作 QGBC，垂足为点 G，则 QGAB
15、8cm，BP BCPC14t。S BPQ BPQG （14t ）8 564t。12 12当 Q 运动到 A 点时所需要的时间 t 4 。S564t（4t4+ ） 。综合上述，所求的函数关系式是：S 。21t0t32564+（ ）（ ）（3）要使运动过程中出现 PQDC， 的取值范围是 1 。aa432又MCAC AN102 ，t 。2114PQMCFD0884025ytttt 与 之间的函数关系式为： 。yt 28405yt（3）S ABC 。1ACBD102当 时， ，即946y25840=5t。2480175=t解得， （舍去） 。123=t ，当 时，S 四边形 PQCM SABC 。5
16、=2ts916（4）假设存在某一时刻 ，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，t则 MP=MC。过 M 作 MH AB，交 AB 于 H。则AHMADB。 。又 ，HABD2D1086 。2=A86105ttt。 ，【例 4】 （湖南湘潭）解：（1）连接 OT， 当 C 点运动到 O 点时，PT 为O 的切线，OT PT,在 RtPTO 中，2222ABPTP()543(2)连接 AT，当 C 点运动到 A 点时，学优中考网 PC AB，PA 是O 的切线。PT 为O 的切线，PA=PT，PO 平分APT。POAT。AB 是O 的直径，ATB 是直角，即 BTAT。POBT。连接 OP、OT
17、，AC= ， xCA4x在 RtPCO 中， 222POC5(4)x在 Rt POT 中， ,TP ，即 。222PT45()x22()yx 。来源:学优中考网 xyzkw98549yx当 =4 时， 最小其值为 9。xy 与 的函数关系式为 ， 的最小值是 9。y2xy【学力训练】1、 （山东聊城）解：（1）如图 1，当 秒时，tAE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2由 EBFCGCGSS梯 形11()FCG22= 208044 ()cm（2）如图 1，当 时，点 E、F、G 分别在边 AB、BC 、CD 上移动，t此时 AEB2C8t ttt， ， ， ，EFCGCG111SS
18、(2)4(2)(84)t梯 形 2348t即 （ ） 。2834t0t若 即 ，解得 。EBFCG1248t23t又 满足 ，所以当 时，EBF FCG 。23t0tt若 即 ，解得 。F1248tt2t又 满足 ，所以当 时，EBF GCF 。2t0t3综上所述，当 或 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似。32来源:学优中考网2、 （吉林省）解：（1） 2，9。（2）分三种情况： 当 5 9 时（如图） ，xy= S 梯形 ABCQ SABP SPCQ。2111165545947222xxxx 当 9 13 时（如图） ，APQ2yS119+4352xx
19、x 。 当 13 14 时（如图） ， APQyS184562x 。DBA ECPQDBA ECPQ DBA ECP(Q)学优中考网 （3） 当动点 P 在线段 BC 上运动时， ，ABCD441yS851552梯 形 ，即 14 +49 = 0。解得 1 = 2 = 7。267xxx当 =7 时， 。ABCD4y15梯 形（4） 。60 9x， ，3、 （江苏淮安）解：(1)2；4。(2) 求点 H 在 AC 上时 的值（如图 1） 。tEPPF1 ，t正方形 EFGH 中，HEEF2 。t又AP2，AEAPEP 2 。又EFGH 是正方形，HEAC90 。 又AA，ABCAHC。 ， 。B
20、68 , HE2t 即 6 1t求点 G 在 AC 上时 t 的值（如图 2） 。又EPPF1 ，正方形 EFGH 中，GF EF 2 。t又AP2，AF AP PF2 。仿上有，ABCAGF。 ， 。BCA68 ,FG2t 即 6 5t因此，0 2 分为三部分讨论：t错误！未找到引用源。当 0 时（如图 3） ，S 与 的函数关系式是：t1t(2 )24 2；来源:学优中考网 xyzkwEFGHS矩 形 t错误！未找到引用源。当 时（如图 4） ，S 与 的函数关系61t5t式是：4t 2 2 - (2 ) 2HMNEFGS矩 形 43tt 2 ；54t1t3错误！未找到引用源。当 2 时（
21、如图 5） ，求 S 与 t 的函数关系式是：65tSS ARF S AQE = (2 ) 2 (2 ) 2134134t3 。t综上所述，S 与 的函数关系式为tS 。22405136563tttt （3）当 时，S 最大，最大面积是 。1425t102754、 （贵州贵阳）解：（1）AD=（123x）3=4 x，列方程：x（4x）=3，即 x24x+3=0，x 1=1，x 2=3，答：当 x=1 或 3 米时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米。（2）AD= （ 124x）3=4错误！未找到引用源。x，S= 。2244xx33（当 x= 时，S 最大 =3。2答：当 x=错误！未找到引用源。时，矩形架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积是 3 平方米。（3）AD= （ anx）3= ，anx3S= 。22ax=3n1当 x= 时，S 最大 = 。a2na1n答：当 x=错误！未找到引用源。时，矩形架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积是 平2a1n学优中考网 方米。：http:/ 优中考，网
