1、专题七数列考向 1 由递推公式求通项公式1递推公式如果已知数列a n的首项 (或前几项) ，且任何一项 an与它的前一项 an1 (或前几项) 间的关系可以用一个式子来表示，即 anf (an1 )或 anf(a n1 ，a n2 )，那么这个式子叫作数列a n的递推公式2已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式典型例题：1、如图，互不相同的点 A1，A 2，A n，和 B1，B 2，B n，分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn1 An1 的面积均相等，
2、设 OAna n，若 a11，a 22，则数列a n的通项公式是_2、已知数列a n满足 a1 1，a 24，a n2 2a n 3an1 (nN *)，则数列 an的通项公式 an_3、已知数列a n满足 a1 1，a n1 3a n2，则数列 an的通项公式为_方法总结：（重点）已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)：形如 an 1a nf(n)，常用累加法即利用恒等式 ana 1(a 2a 1)(a 3 a2) (a na n 1)求通项公式(2)：形如 an 1a nf(n)，常用累乘法，即利用恒等式ana 1 求通项公式a2a1 a3a2 anan 1(3)：形如 an
3、1ba nd(其中 b，d 为常数，b0，1)的数列，常用构造法其基本思路是：构造 an1 xb(a nx )(其中 x )，则 anx 是公比为db 1b 的等比数列，利用它即可求出 an.(4)：形如 an 1 (p，q，r 是常数)的数列，将其变形为panqan r .1an 1 rp 1an qp若 pr，则 是等差数列，且公差为 ，可用公式求通项；1an qp若 pr，则采用(3) 的办法来求(5)：形如 an 2pa n1 qa n(p，q 是常数，且 pq1)的数列，构造等比数列将其变形为 an2 a n1 (q)( an1 a n)，则 ana n1 (n2，nN *)是等比数
4、列，且公比为q，可以求得 ana n1 f(n)，然后用累加法求得通项(6)：形如 a1 2a23a 3na nf(n) 的式子，由 a12a 23a 3na nf(n)，得 a12a 23a 3(n1)a n1 f(n1) ，再由可得 an.变式训练：1、在数列 an中，a 12， an1 a nln ，则 an等于( )(1 1n)A2lnn B2(n1)lnnC2 nlnn D1nlnn2、设 an是首项为 1 的正项数列，且 (n1)a na a n1 an0(n1，2，3，)，则它的通项公式 an_2n 1 2n考向 2 由 Sn和 an的关系求通项1a n与 Sn的关系若数列 an
5、的前 n 项和为 Sn，则an S1（n 1），Sn Sn 1（n 2）.)2已知 Sn求 an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分 n1 和 n2 两种情况讨论，特别注意anS nS n1 中需 n2.(2)由 SnS n 1a n推得 an，当 n1 时，a 1 也适合“a n式” ，则需统一“合写” (3)由 SnS n 1a n推得 an，当 n1 时，a 1 不适合“a n式” ，则数列的通项公式应分段表示( “分写”)，即an S1（n 1），Sn Sn 1（n 2）.)典型例题：1、若数列 an的前 n 项和 Sn an ，则a n的通项公式是23 13an_2、已知
6、数列a n中，a 1 1，前 n 项和 Sn an.n 23求 a2，a 3；求a n的通项公式方法总结：(1)先利用 a1 S1 求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anS nS n1 (n2)便可求出当 n2 时 an的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写。变式训练：1、设数列 an的前 n 项和为 Sn，数列S n的前 n 项和为 Tn，满足Tn2S nn 2， nN *.(1)求 a1 的值；(2)求数列a n的通项公式考向 3 数列的单调性及其应用1数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数集 N*或 N*的有限子集1，2， 3， ，n 为定义域的函数 anf(n) ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的单调性(1)递增数列a n1 an；(2)递减数列a n1 0数列a n是单调递增数列；a n1 a n0 时，则 1数列 an是单调递增数列；1n1数列 an是单调递减数列； loga(1a)对任意正整数1anan 2 13n 恒成立，求实数 a 的取值范围
