1、AB CO（最新最全）2012 年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第三十一章 与圆有关的位置关系31.1 直线与圆的位置关系 11.（2012 山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB 是o 的切线，A 、B 为切点，AC 是o 的直径，若P=46 ，则 BAC=_.【解析】因为 PA、PB 是o 的切线，所以 PA=PB，OAPA ，又因P=46，所以PAB=67，所以BAC= OAP- PAB=90-67 =23，【答案】23【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.14.（2012 连云港，14，3
2、分）如图，圆周角BAC=55，分别过 B、C 两点作 O 的切线，两切线相交于点 P，则BPC= 。 OPBA C【解析】连结 OB，OC，则 OBPB，OCPC。则BOC=110，在四边形 PBOC 中，根据四边形的内角和为 360，可得BPC=70。【答案】70【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。14. （ 2012 湖南湘潭，14，3 分）如图， 的一边 是 O 的直径，请你添加一个BCA条件，使 是 O 的切线,你所添加的条件为 .BC【解析】根据切线的定义来判断，BCAB，或ABC=90 0。【答案】BCAB，或ABC=90 0。【点评】此题考查切线的定义。圆的切线
3、垂直于过切点的半径。20. （2012 浙江丽水 8 分，20 题） （本题 8 分）如图， AB 为O 的直径，EF 切O于点 D，过点 B 作 BHEF 于点 H，交O 于点 C，连接 BD.（1）求证：BD 平分ABH；第 14 题图/ 612（2）如果 AB=12，BC=8 ，求圆心 O 到 BC 的距离.【解析：】 （1）欲证 BD 平分ABH，只需证OBD= DBH.连接 OD，则OBD=ODB，为止只需证 ODB=DBH 即可.（2）过点 O 作 OGBC 于点 G，在RtOBG 中，利用勾股定理即可求得 OG 的值.【解】：（1）证明：连接 OD.EF 是O 的切线，ODEF.
4、又BHEF ， ODBH ，ODB=DBH.而 OD=OB， ODB=OBD，OBD=DBH，BD 平分ABH.（2）过点 O 作 OGBC 于点 G，则 BG=CG=4，在 Rt OBG 中，OG= .524622B【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.20.（2012 福州，20，满分 12 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E。（1）求证：AC 平分DAB；（2）若B=60，CD= ，求 AE 的长。23解析：（1）由 CD 是O 的切线，C 是切点，故优先考虑连接
5、 OC，则 OCCD，ADOC，因此易证 AC 平分DAB；（2）由B=60，可联想到 30的直角三角形及用解直角三角形的方法求出 AE，由B=60，可得1=3=30，因为 CD= ，因此可得 AC= ，从2343而可求得 AB 的长，连接 OE，易知OEA 是等边三角形，故可求得 AE 的长，本题还可连接CE、AB 等来求出 AE。答案：（1）证明：如图 1，连接 OC，CD 为O 的切线OCCDOCD=90ADCDADC=90OCD+ADC=180ADOC1=2OA=OC2=31=3即 AC 平分DAB。（2）解法一：如图 2AB 为O 的直径ACB=90又B=601=3=30在 RtAC
6、D 中，CD= 23AC=2CD= 4在 RtABC 中，AC= 038coscsACB连接 OEEAO=23=60，OA=OEEAO 是等边三角形AE=OA= =4.12AB/ 614解法二：如图 3，连接 CEAB 为O 的直径ACB=90又B=601=3=30在 RtACD 中，CD= 23 06tantanCDA四边形 ABCE 是O 的内接四边形B+AEC=180又AEC+DEC=180DEC=B=60在 RtCDE 中，CD= 23 0tantan6DCEAE=AD-DE=4.点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解
7、直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。23（2012 贵州铜仁，23，12 分） 如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E， ABCD，O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F （1）求证：CD BF； （2）若O 的半径为 5， cosBCD= 54， 求线段 AD 的长【分析】 （1）由 BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，根据切线的性质，可得到BFAB，然后利用平行线的判定得出 CDBF（2）由 AB 是圆 O 的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出 BAD=BCD，再根据三角函数 cosBAD= cosBCD= 54
8、= ADB即可求出 AD 的长【解析】 （1）证明：BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径BFABCDABCDBF（2）解：AB 是圆 O 的直径ADB=90 圆 O 的半径 5AB=10BAD=BCD cosBAD= cosBCD= 4= ADB 105cosBAD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质, 如垂径
9、定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 23. (2012 湖北随州， 23，10 分) 如图，已知直角梯形 ABCD，B=90，AD BC ，并且 AD+BC=CD，O 为 AB 的中点 .（1）求证：以 AB 为直径的O 与斜腰 CD 相切；（2）若 OC=8cm，OD=6cm，求 CD 的长.23 题图/ 616解析:（1）过 AB 的中点 O 作 OECD 于 E.证明 OE 的长等于半径即可 .（2）证明COD=90 0，运用勾股定理求值答案:证明： 过 AB 的中点 O 作 OECD 于 E. S
10、 梯形 ABCD= (AD+BC) AB=(AD+BC) OA21=2( ADOA+ BCOB)=2(S OAD +S OBC)由 S 梯形 ABCD =S OBC+ S OAD+ S OCDS OBC+ S OAD=S OCD ADOA+ BCOA= CDOE2121 (AD+BC) OA= CDOE 又 AD+BC=CD OA= OE,E 点在以 AB 为直径的 O 上，又 OECDCD 是O 的切线即：CD 与O 相切 5 分（2）DA、DE 均为O 的切线，DA =DE，则 1=2，同理3=4. COD=90 0.CD= 5 分)(108622cmCD点评:本题考查梯形、直线余与圆的位
11、置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明 AD+BC=CD 很巧妙.难度较大.（2012 四川成都，27，10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KE=GE；（2）若 =KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；2KG（3） 在（2）的条件下，若 sinE= ，AK= ，求 FG 的长352解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK= EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（
12、2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求 FG 的长。答案：（1）如下图，连接 OG，EG 是O 的切线OGGEOGK+EGK90来源:学优中考网 CDABOAG+AKH90OG=OAOGK=OAGEGK= AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下： =KDGE，GE=KEKG EDKGDKGEKGD EKGDCE CACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAF F，E CsinE= 5sinC= ,sinF= ,tanE=tanC=3434连接 BG，过
13、 G 作 GNAB 于 N，交O 于 Q则弧 BQ=弧 BGBGNBAG/ 618设 AH=3k，则 CH=4k于是 BH= ，OG=216=3CHkA+25=6BHAkEG 是切线，CDABOGF90FOG+ F=E+FFOG= ENG=OGsinFOG= =2536kBN=OB-ON=OG-OGcosFOG= 451-=6kBG= 250+=6kNGBcos BAG=cosBGN= 3102=526kk 30=5kFG= 2530=4sin818kNGFQ N点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。27 （2012 江
14、苏泰州市，27，本题满分 12 分）如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，OA=5，OA 与O 相交于点 P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C.（1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由；（2）若 PC=2 ，求O 的半径和线段 PB 的长；5（3）若在O 上存在点 Q，使 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求O 的半径 r 的取值范围.l l ACPAO OB（第 27 题图） （备用图）【解析】 （1）由于 AB 是O 的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出 AB,AC 两底角相等；（2）设圆半径为
15、 r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求 PB（3）先作出线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OD 垂直于 MN，再利用勾股定理计算即可【答案】 （1）AB=AC; 连接 OB，则 OBAB，所以CBA+OBP=90 0,又 OP=OB，所以OBP=OPB，又OPB=CPA，又 OAl 于点 A，所以PCA+CPA=90 0，故PCA=CBA，所以 AB=AC（2）设圆半径为 r，则 OP=OB=r，PA=5-r；AB 2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP2=(2 )2-5（5-r） 2，从而建立等量关系，r=3，AB=AC，AB 2= AC2，利用相似，求出 PB=
16、4（3）作出线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OD 垂直于 MN，则可推出 OD= =12ACB；由题意，圆 O 要与直线 MN 有交点，所以 ；又215r 5,5ODr因为圆 O 与直线 l 相离；所以 rr)，圆心距为 d，则：(1)dR+r 时，两圆外离；(2)d=R+r 时，两圆外切；(3)R-rr)，圆心距为 d，则：(1)dR+r 时，两圆外离；(2)d=R+r 时，两圆外切；(3)R-rdR+r 时，两圆相交；(4)d=R-r 时，两圆内切；(5)dR-r 时，两圆内含.10.(2012 四川省南充市，10，3 分) 如图，平面直角坐标系中，O 半径长为 1，点 P(a,0)
17、，P 的半径长为 2，把P 向左平移，当P 与O 相切时，a 的值为（ ）/ 6128A3 B1 C1，3 D1，3解析：P 在向左移动时首先会与O 外切，此时点 P 的坐标为（3,0） ；当P 继续向左平移，则会与O 内切，此时点 P 坐标为（1,0） ；继续向左平移则会与O 另一侧出现内切、外切，点 P 的坐标依次为（-1,0） 、 （-3,0） 。答案：D点评：本题考查了两圆相切时，圆心距与半径的关系。对于没有明确两圆内切或外切的情况下，要全面考虑，以免出现漏解。13. （ 2012 浙江丽水 4 分，13 题）半径分别为 3cm 和 4cm 的两圆内切，这两圆的圆心距为_cm.【解析】
18、：圆心距 d=4-3=1（cm）.【答案】：1【点评】：本题主要考查圆和圆的位置与两圆半径 R、r、圆心距 d 的关系当dR r 时，两圆外离；当 dRr 时，两圆外切；当 RrdRr 时，两圆相交；当 dR r 时，两圆内切；当dRr 时，两圆内含难度较小31.3 正多边形和圆 7. （2012 安徽，7，4 分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 ，则阴影部分的面积为（ ）aA.2 B. 3 C. 4 D.52a2a2a2a7. 解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是 a2，由于原来地
19、砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为 a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算解答：解： 故选 A2221点评：本题考查了正多边形的性质，关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给数据来计算.7（2012 浙江省温州市，7，4 分）已知 与 外切， 的半径为1o:21218,ocm:5cm，则 的半径是（ ）2o:A. 13cm B. 8cm C. 6cm D.3cm【解析】两圆外切时，d=R+r，由此计算，选 D【答案】D【点评】本题考查两圆相外切时与半径的关系，关键是数形结合，属于容易题。（2011 山东省潍坊市，题号 18，分值 9）18.如图，三角形 ABC 的
20、两个顶点 B、C 在圆上，顶点 A 在圆上，顶点 A 在圆外，AB、AC分别交圆于 E、D 两点，连接 EC、BD（1）求证：ABDACE；（2）若ABC 与BDC 的面积相等，试判定三角形 ABC 的形状.考点：三角形相似的解答：（1）证明：因为弧 ED 所对的圆周角相等，所以EBD=ECD . 2 分又因为A= A所以ABDACE.4 分（2）方法 1:因为 SABC=SBDC，S ACE= SABCS BEC,SABD= SABCS BCD所以: S ACE= SABD，又根据（1）知，ABDACE所以对应边的比为 1所以 AB=AC，即ABC 为等腰三角形。方法 2：因为BEC 与BC
21、D 的面积相等，有公共底边 BC，所以高相等，即 E、D 两点到 BC 的距离相等，所以 ED BC所以BCE= CED又因为CED=CBD所以BCE= CBD因为ABDACE，所以 ABD =ACE， 来源: 学优中考网 xYzkw所以ABC =ACB即ABC 为等腰三角形点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，综合性较强。25（2012 湖北襄阳，25，10 分）如图 11，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交O 于点 E，F ，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证
22、：直线 PA 为 O 的切线；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明；/ 6130（3）若 BC6，tan F ，求 cosACB 的值和线段 PE 的长12图 11AC BD EF O P【解析】（1）要证 PA 是O 的切线，只要连接 OB，再证PAOPBO90即可（2）OD，OP 分别是 RtOAD，Rt OPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得 OA2ODOP，再将 EF2OA 代入即可得出 EF，OD，OP 之间的等量关系（3）利用 tanF ，得出 AD，OD 之间的关系，据此设未知数后，根据1ADBD ，OD BC3，AO OCOF
23、FDOF，将 AB，AC 也表达成含未知数的代2数式，再在 RtABC 中运用勾股定理构建方程求解【答案】解：（1）证明：如下图，连接 OB，PB 是 O 的切线， PBO90 OAOB，BAPO 于 D，ADBD，POAPOB又POPO，PAOPBOPAO PBO90直线 PA 为O 的切线AC BD EF O P（2）EF 24ODOP证明：PAOPDA 90，OADAOD90，OPA AOP90OADOPAOAD OPA ，即 OA2ODOP ODAP又EF2OA，EF 24ODOP（3）OAOC，ADBD，BC6，OD BC312设 ADx，tanF ，FD2x，OAOF2x312在 Rt AOD 中，由勾股定理 ，得(2x3) 2x 23 2解之得，x 14，x 20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC 是O 的直径，ABC90 而 AC2OA10，BC6，cosACB 105
