1、 例 1 已知 p： x1，x 2 是方程 x25x60 的两根，q：x 1x 25，则 p 是 q 的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换解 x 1，x 2 是方程 x25x 60 的两根，x 1，x 2 的值分别为 1，6，x 1x 2165因此选 A说明：判断命题为假命题可以通过举反例例 2 p 是 q 的充要条件的是 Ap ：3x2 5，q：2x 35Bp：a2 ，b2，q：a bC p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp： a0， q：关于 x 的方程 ax1 有惟一解分析 逐个验证命题是否等价解 对 A
2、p ： x1，q：x 1，所以，p 是 q 的既不充分也不必要条件；对 Bp q 但 q p，p 是 q 的充分非必要条件；对 Cp q 且 q p，p 是 q 的必要非充分条件；对 且 ， 即 ， 是 的 充 要 条 件 选 D说明：当 a0 时，ax0 有无数个解例 3 若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件， C 是 B 成立的充要条件，则 D是 A 成立的 A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 通过 B、C 作为桥梁联系 A、D解 A 是 B 的充分条件， A BD 是 C 成立的必要条件， C D 是 成 立 的 充 要 条 件 ， 由得
3、A C由得 A DD 是 A 成立的必要条件选 B说明：要注意利用推出符号的传递性例 4 设命题甲为：0x 5，命题乙为|x 2|3 ，那么甲是乙的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 先解不等式再判定解 解不等式|x2|3 得1x 50 x 5 1x5 ，但1 x5 0x5甲是乙的充分不必要条件，选 A说明：一般情况下，如果条件甲为 xA，条件乙为 xB 当 且 仅 当 时 ， 甲 为 乙 的 充 分 条 件 ；当 且 仅 当 时 ， 甲 为 乙 的 必 要 条 件 ；AB当且仅当 AB 时，甲为乙的充要条件例 5 设 A、B、C 三个集合，为使 A (
4、BC)，条件 A B 是 A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析请同学们自己画图A (BC) 但是，当 BN，CR，AZ 时，显然 A (BC)，但 A B 不成立，综上所述：“A B” “A (BC)” ，而“A (BC) ” “A B”即“A B”是“A (BC)”的充分条件( 不必要)选 A说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况例 6 给出下列各组条件：(1)p：ab0 ， q：a 2b 20；(2)p：xy0，q：|x| |y| |xy|；(3)p：m 0，q：方程 x2xm0 有实根；(4)p：|x 1| 2，q：x1其中
5、 p 是 q 的充要条件的有 A1 组 B2 组C 3 组 D4 组分析 使用方程理论和不等式性质解 (1)p 是 q 的必要条件(2)p 是 q 充要条件(3)p 是 q 的充分条件(4)p 是 q 的必要条件选 A说明：ab 0 指其中至少有一个为零，而 a2b 20 指两个都为零例 是 的 条 件 7x31212x69分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系解 且 且 ， 但 当 取 ， 时 ， 成 立 ， 而 不 成 立 与 矛 盾 ， 所 以 填 “充 分 不必 要 ” x9x102(23)12121xx212693说 明 ： x3 01212()()0x63(x)
6、9121212 这 一 等 价 变 形 方 法 有 时 会 用 得 上 例 8 已知真命题“ab cd”和“ab ef” ，则“cd”是“ef”的_条件分析 ab cd(原命题)，c d ab(逆否命题) 而 ab e f，c d ef 即 cd 是 e f 的充分条件答 填写“充分” 说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例 9 ax22x 10 至少有一个负实根的充要条件是 A0 a1 Ba1C a1 D0a1 或 a0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之当a 1 时，方程有负根 x1，当 a0 时，x 故 排 除 、 、 选 2C解
7、常 规 方 法 ： 当 时 ， 12当 a0 时1a0x210 02a ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 24aa1a102 ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 2a综上所述 a1即 ax22x1 0 至少有一个负实根的充要条件是 a1 说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 s，r，p分别是 q 的什么条件？分析 画出关系图 121 ，观察求解解 s 是 q 的充要条件；(s r q，q s)r 是 q 的充要条件；(r q，q s r)p 是 q 的必要条件；(q s r p)说
8、明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系例 11 关于 x 的不等式|x3(a1)2(3a)0ABA12 与 的 解 集 依 次 为与 ， 问 “”是 或 的 充 要 条 件 吗 ？()()a2分析 化简 A 和 B，结合数轴，构造不等式 (组)，求出 a解 Ax|2axa 21，Bx|(x2)x(3a1) 0当 即 时 ，23Bx|2 x3a1 a2+13a323 当 即 时 ，Bx|3a 1 x2Aa1+2aB331 综 上 所 述 ： 或 “”是 或 的 充 要 条 件 说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要理清思路，表达准确，推理无误 例
9、 ， 是 的 必 要 条 件 还 是 充 分 条 件 ， 还 是 充12 xy01xy要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系解 当 时 ， 可 得 即 101xyxyx则 或 ，即 或 ，0 xy故 不 能 推 得 且 有 可 能 得 到 ， 即 且 并 非 的 必 要 条 件 1 0xy xyxy0()xy0 2xy0xy0xy0 当 且 则 分 成 两 种 情 况 讨 论 ： 或 不 论 哪 一 种 情 况 均 可 化 为 且 是 的 充 分 条 件 1xy说明：分类讨论要做到不重不漏例 13 设 ， 是方程 x2axb0 的两个实根，试分析 a2 且 b1 是两根 ， 均大于 1
10、 的什么条件？分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要 搞 清 楚 条 件 与 结 论 分 别 指 什 么 然 后 再 验 证 是 还 是 还 是 pqpqppq 解 据 韦 达 定 理 得 ： ， ， 判 定 的 条 件 是 ： 结 论 是 ： 还 要 注 意 条 件 中 ， ， 需 要 满 足 大 前 提 abq(paa4b0) 211 (1)a2b1由 得 ， ，q p上述讨论可知：a2，b 1 是 1，1 的必要但不充分条件说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用 例 14 (1991 年全国高考题 )设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析 1：由丙 乙 甲且乙 丙，即丙是甲的充分不必要条件分析 2：画图观察之答：选 A说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
