1、专题 08 统计初步聚焦考点温习理解一、平均数 1、平均数的概念（1）平均数：一般地，如果有 n 个数 ,21nx 那么， )(12nxx 叫做这 n 个数的平均数， x读作“x 拔” 。（2）加权平均数：如果 n 个数中， 1x出现 f次， 2x出现 f次， kx出现 kf次（这里ffk1） ，那么，根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表示为nfxxk2，这样求得的平均数 x叫做加权平均数，其中 kff,21 叫做权。2、平均数的计算方法（1）定义法当所给数据 ,21nx 比较分散时，一般选用定义公式： )(12nxxn（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：
2、 nffxk21，其中nffk21。（3）新数据法：当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式： ax。其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， 1， 2，xn。 )(12nxx 是新数据的平均数（通常把 ,nx 叫做原数据，,21叫做新数据） 。二、统计学中的几个基本概念 1、总体所有考察对象的全体叫做总体。2、个体总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样
3、本平均数估计总体平均数。三、众数、中位数1、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。四、方差 1、方差的概念在一组数据 ,21nx 中，各数据与它们的平均数 x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“ 2s”表示，即 )()()( 2221 xxxnn2、方差的计算（1）基本公式： )()()( 22212 xxxns n（2）简化计算公式（）： )(221sn也可写成 221xxn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（3）简化计算
4、公式（）： )(1222 xnxns当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组新数据 a1， ax2， axn，那么，2212 )(xxnsn此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。（4）新数据法：原数据 ,21nx 的方差与新数据 ax1， ax2， axn的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得 ,21n 的方差就等于原数据的方差。3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 )()()(12222 xxxns n名师点睛典例分类考点典例一、平均数【例 1】数据
5、1，0，1，2，3 的平均数是（ ）A1 B 0 C 1 D 5【答案】C.【解析】数据1，0，1，2，3 的平均数是 5（1+0+1+2+3）=1故选 C【点睛】所给数据 ,21nx 比较分散，选用定义公式： )(12nxxn 求解即可.【举一反三】（2015辽宁丹东）如果一组数据 2，4， x，3，5 的众数是 4，那么该组数据的平均数是( ).A. 5.2 B. 4.6. C. 4 D. 3.6【答案】D.考点：数据的分析.考点典例二、众数、中位数【例 2】对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄 13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2
6、则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）A 17，15.5 B 17，16 C 15，15.5 D 16，16【答案】A【解析】17 出现的次数最多，17 是众数第 15 和第 16 个数分别是 15、16，所以中位数为 16.5故选 A【点晴】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数分别是 15、16，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 16.5；众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中 17 是出现次数最多的，故众数是 8【举一反三】1.（2015 达州）2015 年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示：成 绩 （ m） 1.
7、80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人 数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）A1.70 m，1.65 m B1.70 m，1.70 m C1.65 m，1.60 m D3，4【答案】C【解析】试题分析：152=71，第 8 名的成绩处于中间位置，男子跳高的 15 名运动员的成绩处于中间位置的数是 1.65m，这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m；男子跳高的 15 名运动员的成绩出现次数最多的是 1.60m，这些运动员跳高成绩的众数是 1.60m；综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m，众数是 1.60m故选 C考点：1众数
8、；2中位数2.（2015 遂宁）某射击运动员在一次射击训练中，共射击了 6 次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是 【答案】7.5考点：中位数3.（2015辽宁大连）某舞蹈队 10 名队员的年龄如下表所示：年龄(岁) 13 14 15 16人数 2 4 3 1则这 10 名队员年龄的众数是（ ）A. 16 B.14 C.4 D.3【答案】B【解析】试题分析：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数，14 出现的次数最多，故选 B.考点：众数.考点典例三、方差【例 3】 （2015 巴中）有一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的方差是 【答案】2【解析】试题分
9、析： (54367)5x，2S= 222221)()(75)，故答案为：2考点：方差【点睛】利用方差公式求得方差即可【举一反三】1.（2015辽宁沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近 10 次跳远成绩的平均数为 602cm，若甲跳远成绩的方差为 2S甲 =65.84，乙跳远成绩的方差为 2S乙 =285.21，则成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙” ）【答案】甲【解析】试题分析： 2S甲 =65.84， 2乙 =285.21， 2S甲 乙 ，甲的成绩比乙稳定故答案为：甲考点：方差2.（2015 攀枝花）一组数据 6、4、 a、3、2 的平均数是 4，则这组数据的方差为（ ）A0 B2 C D10
10、【答案】B考点：1方差；2算术平均数课时作业能力提升一选择题1.（2015 甘孜州）某校篮球队五名主力队员的身高分别是 174，179，180，174，178（单位： cm） ，则这五名队员身高的中位数是（ ）A174 cm B177 cm C178 cm D180 cm【答案】C【解析】试题分析：数据从小到大的顺序排列为 174，174，178，179，180，这组数据的中位数是 178故选 C考点：中位数2 （2015 乐山）某班开展 1 分钟仰卧起坐比赛活动，5 名同学的成绩如下（单位：个）：37、38、40、40、42这组数据的众数是（ ）A37 B38 C40 D42【答案】C【解析
11、】试题分析：由题意得，40 出现的次数最多，众数为 40故选 C考点：众数3.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15（单位：岁） 这组数据的中位数和极差分别是（ ）A15，3 B14，15 C16，16 D14，3【答案】A考点：1极差；2中位数4.（2015辽宁营口）云南鲁甸发生地震后，某社区开展献爱心活动，社区党员积极向灾区捐款，如图是该社区部分党员捐款情况的条形统计图，那么本次捐款钱数的众数和中位数分别是( ).A100 元，100 元 B100 元，200 元 C200 元，100 元 D20
12、0 元，200 元【答案】B.【解析】试题分析：因为数据 100 出现 18 人次，次数最多，所以众数是 100，故排除 C,D；因为一共有5+18+17+8=48 人，中位数是第 24 和 25 人捐款的平均数，第 24 人，25 人捐款都是 200 元，所以中位数是200 元，故选 B.考点：数据的统计分析与描述.5.（2015湖北鄂州，4 题，3 分）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行调查，下表是这 10 户居民 2015 年 4 月份用电量的调查结果：那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度） ，下列说法错误的是（ ）A中位数是 50 B众数是 51 C方差是
13、 42 D极差是 21【答案】C考点：1.方差；2.极差；3.中位数；4.众数6.(2015湖北孝感）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程” 某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为 20 187 5 10，对于这组数据，下列说法错误的是 ( )A平均数是 15 B众数是 10 C中位数是 17 D方差是 34【答案】C.【解析】试题分析：中位数应该是 15 和 17 的平均数 16，故 C 选项错误，其他选择正确。故选：C.考点：简单统计.7.（2015湖南益阳）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时
14、间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人 数 1 1 2 1A.中位数是 4，平均数是 3.75 B.众数是 4，平均数是 3.75C.中位数是 4，平均数是 3.8 D.众数是 2，平均数是 3.8【答案】C【解析】试题分析：本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念根据众数和中位数的概念求解这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4，共有 5 个人，第 3 个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4，平均数为： =3.8考点：中位数；加权平均数；众数8.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩平均数均是 9.2
15、 环，方差分别为2222ss0.6,.5,s.50,s.4 甲 乙 丁 丙，则成绩最稳定的是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D.考点：方差的意义.9.甲、乙两名同学进行了 6 轮投篮比赛，两人的得分情况统计如下：下列说法不正确的是（ ）第 1 轮 第 2 轮 第 3 轮 第 4 轮 第 5 轮 第 6轮甲 10 14 12 18 16 20乙 12 11 9 14 22 16gksA 甲得分的极差小于乙得分的极差B 甲得分的中位数大于乙得分的中位数C 甲得分的平均数大于乙得分的平均数D 乙的成绩比甲的成绩稳定【答案】 D考点：1、极差；2、中位数；3、平均数；4、方差10.
16、（山东烟台，第 5 题，3 分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差8.5 8.3 8.1 0.15如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）A平均数 B. 众数 C. 方差 D.中位数【答案】D【解析】试题分析：根据数据的特点，去掉一个最高分和一个最低分，中位数不发生变化，其余都发生变化。tkCom故选 D考点：数据的分析二填空题11.(2015湖北武汉，13 题，3 分）一组数据 2、3、6、8、11 的平均数是_【答案】6【解析】试题分析：平均数=五个数的和5，则平均数=(2+3+6+8+11)5=6.考点：平均数的计
17、算.12(2015湖北襄阳,15 题)若一组数据 1，2， x，4 的众数是 1，则这组数据的方差为 【答案】 32考点：1方差；2众数13.（2015湖南株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占40%计算。已知孔明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么孔明物理得分是 分。【答案】90 分【解析】试题分析：设物理得 x 分，则 9560%+40%x=93，截得：x=90.考点：加权平均数的运用14.（2015黑龙江绥化）在 2015 年的体育考试中某校 6 名学生的体育成绩统计如图所示 ，这组数据的中位数是_.【答案】26【解析】试题分析：根据
18、统计图可知：得 24 分的有 2 人，26 分的有 3 人，得 30 分的有 1 人，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是 26.考点：1.折线统计图；2. 中位数.15.（2015 广元）一组数据 10，13，9，16，13，10，13 的众数与平均数的和是_【答案】25考点：1众数；2算术平均数三解答题16. （2015 绵阳） （11 分）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到 20 株西红柿秧上小西红柿的个数：32 39 45 55 60 54 60 28 56 4151 36 44 46 40 53 37 47 45 46（1）前 10 株西红柿秧上小西红柿
19、个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；（2）若对这 20 个数按组距为 8 进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图个 数 分 组 28x 36 36x 4 4x 52 52x 60 60x 68 频 数 2 2 （3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势【答案】 （1）47；49.5；60；（2）5，7，4，作图见试题解析；（3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 28 个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共有 7 株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少 （3 条信息任答一条即可） 【解析】试题分析：（1）前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是（32+39+45+55+
20、60+54+60+28+56+41）10=47；把这些数据从小到大排列：28、32、39、41、45、54、55、56、60、60，最中间的数是（45+54）2=49.5，则中位数是 49.5；60 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 60；故答案为：47，49.5，60；（2）根据题意填表如下： 个 数 分 组 28x 36 36x 4 4x 52 52x 60 60x 68 频 数 2 5 7 4 2 补图如下：故答案为：5，7，4；（3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 28 个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共 7 株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少 （3 条信息任答
21、一条即可） 考点：1频数（率）分布直方图；2频数（率）分布表；3加权平均数；4中位数；5众数16.（2015湖北黄冈，19 题，分） （7 分） “ 六一”儿童节前夕，蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为 6 名，7 名，8 名，10 名，12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图请根据上述统计图，解答下列问题：（1）该校有多少个班级？并补全条形统计图；（2）该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？（3）若该镇所有小学共有 60 个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，
22、共有多少名留守儿童【答案】 （1）16，作图见试题解析；（2）9，10；（3）540试题解析：（1）该校的班级数是：212.5%=16（个） 则人数是 8 名的班级数是：161262=5（个） ；（2）每班的留守儿童的平均数是： 16（16+27+58+610+122）=9（人） ，众数是 10 名；（3）该镇小学生中，共有留守儿童 609=540（人） 答：该镇小学生中共有留守儿童 540 人考点：1条形统计图；2用样本估计总体；3扇形统计图；4加权平均数17(2015湖北荆门，20 题，分)为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生
23、的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表 组 别 身 高 （ cm） A x 150 B 150x 15 C 15x 160 D 160x 165 E x165 根据图表中信息，回答下列问题：（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号） ，女生身高在 B 组的人数有 人；（2）在样本中，身高在 150 x155 之间的人数共有 人，身高人数最多的在 组（填组别序号） ；（3）已知该校共有男生 500 人，女生 480 人，请估计身高在 155 x160 之间的学生约有多少人？【答案】 （1） D，12；（2）16， C；（3）541【解析】试题分析：（1）根据中位数的定义解答
24、即可；（2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果；（3）分别用男、女生的人数，相加即可得解试题解析：（1）在样本中，共有 2+4+8+12+14=40 人，中位数是第 20 和第 21 人的平均数，男生身高的中位数落在 D 组，女生身高在 B 组的人数有 40（130%20%15%5%）=12 人；（2）在样本中，身高在 150 x155 之间的人数共有 4+12=16 人，身高人数最多的在 C 组；（3）500 1248+480（30%+15%）=541（人） ，故估计身高在 155 x160 之间的学生约有541 人考点：1频数（率）分布直方图；2用样本估计总体；3频数（率）分布表；4扇
25、形统计图；5中位数18.（山东淄博，第 21 题）某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分 10 分，学生得分均为整数，成绩达 6 分以上为合格，达到 9 分以上（含 9 分）为优秀这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下（1）补充完成下列的成绩统计分析表：组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率甲 6.7 3.41 90% 20%乙 7.5 80% 10%（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是 组学生；（填“甲”或“乙” ）（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组请你给出两条支持乙组同学观点的理由【答案】（3）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组考点：条形统计图；算术平均数；中位数；方差
