1、专题 05 整式方程（组）聚焦考点温习理解一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为 未 知 数 ，（ 0ax0ba叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项。二.一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整
2、式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 )0(acbxa，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。三、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知， ax是 b 的平方根，当 0b时， ，当 b0 时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方
3、法的理论根据是完全平方公式 222)(baa，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有 22)(bxbx。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 )0(2acbxa的求根公式：42x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、二元一次方程组 1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程.2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个（或两个
4、以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。名师点睛典例分类考点典例一、一元一次方程【例 1】 （2015辽宁大连）方程 3x+2(1-x)=4 的解是（ ）A.x=52 B.x=65 C.x=2 D.x=1【答案】C【解析】试题分析：去括号得：3x+
5、2-2x=4.移项合并得：x=2，故选 C.考点：解一元一次方程.【点睛】将原方程去括号、移项、合并同类项得 x=2，即可求出方程的解.【举一反三】方程 2x1=0 的解是 x= 【答案】 12考点典例二、一元一次方程的应用【例 2】 （2014无锡）某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元，一支圆珠笔的售价为 2 元该店在“61 儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60支，卖得金额 87 元若设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一元一次方程为( )A. 1.20.8x+20.9（60+x）=87 B. 1.20.8x+20.9（6
6、0x）=87 C. 20.9x+1.20.8（60+x）=87 D. 20.9x+1.20.8（60x）=87【答案】B【解析】设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一元一次方程为：1.20.8x+20.9（60x）=87故选 B考点：由实际问题抽象出一元一次方程（销售问题） 【点晴】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“铅笔按原价打 8 折出售，圆珠笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得金额 87 元” ，得出等量关系：x 支铅笔的售价+（60x）支圆珠笔的售价=87，据此列出方程.【举一反三】（2015 南充）学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已
7、知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的 3 倍，今年购置计算机的数量是（ ）A25 台 B50 台 C75 台 D100 台【答案】C【解析】试题分析：设今年购置计算机的数量是 x 台，去年购置计算机的数量是（100 x）台，根据题意可得：x=3（100 x） ，解得： x=75故选 C考点：一元一次方程的应用考点典例三、一元二次方程【例 3】 （2015聊城，第 13 题）一元二次方程 x22x=0 的解是 【答案】 12x0，考点：解一元二次方程-因式分解法【点睛】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解.【举一反三】1.（山东烟
8、台，第 6 题，3 分）如果 201()xx，那么 x的值为（ ）A2 或-1 B. 0 或 1 C. 2 D. -1【答案】C【解析】试题分析：任何一个不为零的数的零次方为 1，所以可得方程 21x解方程得 x 的值为 2 或-1，但当 x=-1 时，x+1=0，这时 01x=0，故答案为 2.故选 C考点：零指数幂，一元二次方程的解2.（2015辽宁大连）解方程 046x2【答案】 31,31x2考点：解一元二次方程.考点典例四、一元二次方程的应用【例 4】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为 2.6
9、 万元，设可变成本平均每年增长的百分率为 x（1）用含 x 的代数式表示低 3 年的可变成本为 万元；（2）如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年的增长百分率 x.【答案】 （1）2.6（1+x） 2；（2）10%【解析】 （1）由题意，得第 3 年的可变成本为：2.6（1+x） 2.（2）由题意，得 4+2.6（1+x） 2=7.146，解得：x 1=0.1，x 2=-2.1（不合题意，舍去） 答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%【点睛】 （1）根据增长率问题由第 1 年的可变成本为 2.6 万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x） ，则第三
10、年的可变成本为 2.6（1+x） 2，故得出答案.（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可【举一反三】1.（2015 宜宾）某楼盘 2013 年房价为每平方米 8100 元，经过两年连续降价后，2015 年房价为 7600元设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意可列方程为 【答案】 2810()760x【解析】试题分析：设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意列方程得： 2810()760x，故答案为：2810()760x考点：1由实际问题抽象出一元二次方程；2增长率问题2.（2015山东济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm 的小正方形，做成一个无盖
11、的盒子，已知盒子的容积为 300 3cm，则原铁皮的边长为（ ）A 10cm B 13cm C 14cm D 16cm【答案】D考点：一元二次方程的应用考点典例五、二元一次方程组【例 5】 （7 分） （2015聊城，第 18 题）解方程组 【答案】 32xy【解析】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可试题解析：解： 524xy ，+得：3x=9，即 x=3，把 x=3 代入得：y=2，则方程组的解为 32xy考点：解二元一次方程组【点睛】利用加减消元法消去未知数 y，得到关于 x 的一元一次方程，求出方程的解 x，再代入或中，求出 x 与 y 的值即可 【举一反三】（2015山东日照）已
12、知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y=0，求实数 m 的值【答案】m=4考点：1.分式的化简求值；2.二元一次方程组的解考点典例六、二元一次方程组的应用【例 6】海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克 26 元和 22 元.李叔叔购买这两种水果共 30 千克，共花了 708 元.请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？【答案】18.【解析】设李叔叔购买“无核荔枝” x 千克，购买“鸡蛋芒果” y 千克，由题意，得： y302678，解得： x128答：李叔叔购买“无核荔枝”12 千克，购买“鸡蛋芒果”18 千克【点睛】设李叔叔购买“无核荔枝”x 千克
13、，购买“鸡蛋芒果”y 千克，根据总质量为 30 千克，总花费为708 元，可得出方程组，解出即可【举一反三】（2015 内江）植树节这天有 20 名同学共种了 52 棵树苗，其中男生每人种树 3 棵，女生每人种树 2 棵设男生有 x 人，女生有 y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）A 5230 B 5230xy C 2035xy D 0325xy【答案】D【解析】试题分析：设男生有 x 人，女生有 y 人，根据题意可得： 2035xy，故选 D考点：由实际问题抽象出二元一次方程组课时作业能力提升一选择题1 （2015 成都）关于 x 的一元二次方程 210kx有两个不相等的实数根，则 k
14、的取值范围是（ ）A k B 1k C 0 D 且 k【答案】D考点：根的判别式2.（2015 眉山）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A 2(1)0x B 2190x C 240x D 210x【答案】B【解析】试题分析：A=0，方程有两个相等的实数根；B=4+76=800，方程有两个不相等的实数根；C=160，方程没有实数根；D=14=30，方程没有实数根故选 B考点：根的判别式3.（2015 广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 2710x的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B9 C13 D12 或 9【答案】A考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三
15、边关系；3等腰三角形的性质4.（2015 巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ）A 2560(1)35x B 260(1)35xC D【答案】B【解析】试题分析：设每次降价的百分率为 x，由题意得： 2560(1)35x，故选 B考点：1由实际问题抽象出一元二次方程；2增长率问题5.(2015湖北荆门，)王大爷用 280 元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克 20 元，乙种药材每千克 60元，且甲种药材比乙种药材多买了 2 千克，则甲种药材买了 千克【答案
16、】5【解析】试题分析：5 设买了甲种药材 x 千克，乙种药材（ x2）千克，依题意，得 20x+60（ x2）=280，解得：x=5即：甲种药材 5 千克故答案为：5考点：一元一次方程的应用6.（2015山东淄博）已知 是二元一次方程组 的解，则 2mn 的平方根为（ ）A2 B C D2【答案】A.【解析】试题分析：由 x=2，y=1 是二元一次方程组的解，将 x=2，y=1 代入方程组求出 m=3 与 n=2 的值，进而求出2mn 的值喂，利用平方根的定义即可求出 2mn 的平方根为2.故答案选 A.考点：二元一次方程组的解；平方根的定义二填空题7. 服装店销售某款服装，一件服装的标价为
17、300 元，若按标价的八折销售，仍可获利 20%，则这款服装每件的进价是 元【答案】180考点：一元一次方程的应用.8.（2015湖北黄冈）若方程 210x 的两根分别为 1x， 2，则 121x的值为_【答案】3【解析】试题分析：根据题意得 12x， 12x，所以 121x=2（1）=3故答案为：3考点：根与系数的关系9.设实数 x，y 满足方程组y431x2，则 xy .【答案】8.【考点】1.解二元一次方程组；2.代数式求值.【分析】1xy432，+得 x693； 得 2y1， y810.某种商品每件的标价为 240 元，按标价的八折销售时，每件仍能获利 20%，则这种商品每件的进价为
18、元【答案】160【解析】试题分析：设这种商品每件的进价为 x 元，由题意得，2400.8x=10%x，解得：x=160， 即每件商品的进价为 160 元考点：一元一次方程的应用 三解答题11. （2015湖北黄冈，16 题，分） （6 分）已知 A， B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以30%和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A， B 两件服装的成本各是多少元？【答案】300，200考点：二元一次方程组的应用12.（2015.重庆市 A 卷，第 19 题，7 分）解方程组 1342yx【答案】 2.考点：二元一次方程组的解法.8. （2015.
19、重庆市 B 卷，第 19 题 7 分）解二元一次方程组 2136.xy， 【答案】 31xy【解析】试题分析：利用加减消元法解二元一次方程组.将得出 y 的值，然后将 y 的值代入求出 x 的值，从而得出二元一次方程组的解.本题也可以利用代入消元法来进行求解.试题解析：-得：y=1 将 y=1 带入得：x=3 原方程组的解为： 31xy .考点：解二元一次方程组.13. （2015湖北鄂州）关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 12,x.（1） （4 分）求实数 k 的取值范围（2） （4 分）若方程两实根 12,满足 x1+ x2= x1x2， 求 k 的值【答案】 （1）k 3；（2）2.【解析】试题分析：(1) 方程有两个不相等的实数根,故 0，解不等式即可求出 k 的取值范围； （2）由题意设方程 x2+（2k+1）x+k 2+1=0 两根为 x1，x 2，利用根与系数的关系，代入求值即可.试题解析：（1）原方程有两个不相等的实数根 = )k(2 4（ 2+1)=4k2+4k+14k 24=4k30解得：k 3考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系
