1、第 3 课时 三角形中的几何计算1掌握三角形的面积公式的应用(重点)2掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)基础初探教材整理 三角形面积公式阅读教材 P16 练习以下部分 P18 例 9，完成下列问题1三角形的面积公式(1)S aha bhb chc(ha，h b，h c分别表示 a，b，c 边上的高)；12 12 12(2)S absin C bcsin_A casin_B；12 12 12(3)S (abc )r(r 为内切圆半径)122三角形中常用的结论(1)ABC， ；A B2 2 C2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
2、；(4)三角形的诱导公式sin(AB )sin _C，cos( AB)cos_C，tan(AB)tan_C ，(C 2)sin cos ，A B2 C2cos sin .A B2 C21下列说法中正确的是_(填序号)(1)已知三角形的三边长为 a，b，c ，内切圆的半径为 r，则三角形的面积S( a bc) r；(2)在ABC 中，若 cb2，S ABC ，则 A 60；3(3)在ABC 中，若 a6，b4，C30，则 SABC 的面积是 6；(4)在ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 AB .【解析】 (1)错误因为一个三角形可以分割成三个分别以 a，b，c 为底，以内切圆的半径为
3、高的三角形，所以三角形的面积为S ar br cr (abc)r.12 12 12 12(2)错误由三角形面积公式 S bcsin A 得，1222sin A ，所以 sin A ，则 A60或 A120.12 3 32(3)正确因为三角形的面积 S absin C 64sin 306.12 12(4)错误因为在ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 2A2B 或 2A2B ，即 A B 或 A B .2【答案】 (3)2在ABC 中，a6，B30，C120，则ABC 的面积为_. 【解析】 由题知 A18012030 30， ，b6，S 66sin 1209 .6sin 30 bsin
4、 30 12 3【答案】 9 33在ABC 中，ab60，S ABC 15 ，ABC 的外接圆半径为 ，则边3 3c 的长为_ 【解析】 S ABC absin C15 ，sin C .12 3 32由正弦定理 2R ，c2Rsin C3.csin C【答案】 34若ABC 的面积为 ，BC2，C60，则边 AB 的长度等于3_【解析】 在ABC 中，由面积公式得 S BCACsin C 2ACsin 6012 12 AC ，32 3AC2.BC2，C60 ，ABC 为等边三角形，AB2.【答案】 2小组合作型三角形面积的计算(1)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知b2
5、，B ，C ，则 ABC 的面积为( )6 4A2 2 B. 13 3C2 2 D. 13 3(2)在ABC 中，S ABC (a2b 2c 2)，则 C_.14(3)在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积 SABC ，则边 BC32的长为_【精彩点拨】 (1)利用正弦定理求边 c，然后利用三角形面积公式求解(2)由三角形面积 S absin C 与余弦定理 cos C 相结合求解12 a2 b2 c22ab(3)由已知可先利用三角形面积公式 S bcsin A 求出 AC，然后利用余弦定12理求 BC.【自主解答】 (1)由正弦定理 及已知条件得 c2 ，又 sin bsin B c
6、sin C 2Asin( BC) .从而 SABC bcsin A 22 12 22 32 22 2 64 12 12 2 1.2 64 3(2)由 SABC (a2b 2c 2)得14absin C (a2b 2c 2)，即 sin C ，12 14 a2 b2 c22absin Ccos C ，即 tan C1，C .4(3)由 SABC ，得 ABACsin A ，32 12 32即 2AC ，AC1.由余弦定理得12 32 32BC2AB 2AC 22AB ACcos A2 21 2221 3，BC .12 3【答案】 (1)B (2) (3) 4 31由于三角形的面积公式有三种形式，
7、实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算再练一题1已知在ABC 中，cos A ，cos B ，BC5，求ABC 的面积. 513 35【解】 由 cos A ，得 sin A .513 1 cos2A 1213由 cos B ，得 sin B .35 1 cos2B 45所以 sin C sin(AB)sin Acos Bcos A sin B .1213 35 ( 513) 45 3665 2065 1665由正弦定理得 AC .BCsin Bsin A5451
8、213 133所以ABC 的面积为 S BCACsin C 5 .12 12 133 1665 83三角形的证明问题在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.证明： .a2 b2c2 sinA Bsin C【精彩点拨】 由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开【自主解答】 法一：由余弦定理a2b 2c 2 2bccos A，b 2a 2c 22accos B ，a 2b 2b 2a 22bc cos A2accos B，整理得： .a2 b2c2 acos B bcos Ac依正弦定理有 ， ，ac sin Asin C bc sin Bsin C .a2 b2c
9、2 sin Acos B sin Bcos Asin C sinA Bsin C法二： sinA Bsin C sin Acos B cos Asin Bsin Caa2 c2 b22ac b2 c2 a22bc bc2a2 b22c2 .a2 b2c21三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形再练一题2在ABC 中，求证： .cos Bcos C c bcos Ab cc
10、os A【证明】 由正弦定理得右边2Rsin C 2Rsin Bcos A2Rsin B 2Rsin Ccos AsinA B sin Bcos AsinA C sin Ccos Asin Acos B cos Asin B sin Bcos Asin Acos C cos Asin C sin Ccos A 左边sin Acos Bsin Acos C cos Bcos C原等式成立探究共研型三角形中的综合问题探究 1 如图 1230 所示，图中共有几个三角形？线段 AD 分别是哪些三角形的边，B 是哪些三角形的内角？图 1230【提示】 在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC
11、；线段 AD 是 ADC 与ABD 的公共边，B 既是 ABC 的内角，又是ABD 的内角探究 2 在探究 1 中，若 sin Bsin ADB，则ABD 是什么形状的三角形？在此条件下若已知 ABm，DCn，如何求出 AC?【提示】 若 sin Bsin ADB，则ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在ABD 中先求出 AD，然后利用余弦定理在 ADC 中求出 AC，也可以在ABD 中先求出 BD，然后在 ABC 中，利用余弦定理求出 AC.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知A ，bsin csin a.4 (4 C) (4 B)(1)求证：BC ；2(2)若 a
12、，求ABC 的面积2【精彩点拨】 (1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出 B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出 b，c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解【自主解答】 (1)由 bsin csin a，应用正弦定理，(4 C) (4 B)得 sin Bsin sin Csin sin A，(4 C) (4 B)所以 sin B sin C sin B cos B ，(22sin C 22cos C) 22 22 22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1，因为 0b，所以 AB，则 B ，所以 C ，6 2
