1、 / 22- 1 -华北地区 2012 年中考数学试题（8 套）分类解析汇编（6 专题）专题 5：综合问题锦元数学工作室 编辑1、选择题1. （2012 天津市 3 分）若关于 x 的一元二次方程（x2）（x3）=m 有实数根 x1,x2，且x1x 2，有下列结论：x 1=2，x 2=3； ；1m4二次函数 y=（xx 1）（xx 2）m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C。【考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为 x1
2、、x 2，x 1=2，x 2=3，只有在 m=0 时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2）（x3）=m 化为一般形式得：x 25x6m=0，方程有两个不相等的实数根 x1、x 2，=b 24ac=（5） 24（6m）=4m10，解得： 。故结论正确。1m4一元二次方程 x25x6m=0 实数根分别为x1、x 2，x 1x 2=5，x 1x2=6m。二次函数 y=（xx 1）（xx 2）+m=x 2（x 1x 2）xx 1x2m=x 25x（6m）m=x25x6=（x2）（x3）。令 y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2 或 3。抛物线与 x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论
3、正确。综上所述，正确的结论有 2 个：。故选 C。2. （2012 河北省 3 分）如图，两个正方形的面积分别为 16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（ab），则（ab）等于【 】A7 B6 C5 D4【答案】A。【考点】整式的加减。【分析】设重叠部分面积为 c，（ab）可理解为（ac）（bc），即两个正方形面积的差，所以。Ab=（ac）（bc）=169=7。故选 A。3. （2012 内蒙古包头 3 分）已知下列命题： 若 a0 ，则 lal 一 a ； 若 ma2 na2 ，则 m n ； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 垂直于弦的直径平分弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是【
4、 】A.1 个 B .2 个 C.3 个 D .4 个【答案】B。【考点】命题的判断，绝对值的性质，不等式的性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理。【分析】命题和逆命题均正确；命题正确，逆命题不正确（当 a=0 时，由 m nma 2 = na2）；命题和逆命题均正确；命题正确，逆命题不正确（当弦为直径时，平分它的直径不一定垂直于它）。所以命题和逆命题均正确的个数有 2 个。故选 B。4. （2012 内蒙古呼和浩特 3 分）如图，在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形，边长为 1 的正六边形和半径为 1 的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是【 】/ 22- 3 -A落在菱
5、形内B落在圆内C落在正六边形内D一样大【答案】B。【考点】几何概率，菱形、正六边形和圆的面积，实数的大小比较。【分析】分别求得三个图形的面积，则面积最大的就是所求的图形：菱形的面积是： 23=3；正六边形的面积是： 6 ；圆的面积是：12 3=42 3，圆的面积最大。一点随机落在这三个图形内的概率较大的是：圆。故选 B。 5. （2012 内蒙古呼和浩特 3 分）下列命题中，真命题的个数有【 】一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行函数 图象上的点 P（x，y）一定在第二象限21y=x+正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时
6、成立的 x 的取值为 132A3 个B1 个C4 个D2 个【答案】D。【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。【分析】平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。故此命题错误。根据二次根式的意义得 x0，y0，故函数 图象上的点 P（x，y）21y=x+一定在第二象限。故此命题正确。根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时成立，即 y=|
7、x|3，y=x 2，故|x|3=x 2，x 2|x|3=0。当 x0，则 x2x3=0，解得：x 1= ，x 2= （不合题意舍去） ；+313当 x0，则 x2+x3=0，解得：x 1= （不合题意舍去） ，x 2= 。13使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为： ， 。1+3故此命题错误。故正确的有 2 个。故选 D。 6.（2012 内蒙古呼伦贝尔 3 分）如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，反比例函数的图象过点 B，则 k 的值为【 】ky=xA8 B4 C8 D4【答案】D。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的
8、关系。【分析】四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，B 点坐标为（2，2） 。将（2，2）代入解析式 得，k=22=4。故选 D。 y=x二、填空题1. （2012 北京市 4 分）在平面直角坐标系 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做Oy整点已知点A（0，4） ，点 B 是 轴正半轴上的整点，记AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m当xm=3 时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= （用含 n/ 22- 5 -的代数式表示 ）【答案】3 或 4；6n3。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。【分析】根据题意画出图形，
9、再找出点 B 的横坐标与AOB 内部（不包括边界）的整点 m之间的关系即可求出答案：如图：当点 B 在（3，0）点或（4，0）点时，AOB 内部（不包括边界）的整点为（1，1） ，（1，2） ， （2，1） ，共三个点，当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4。当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，以 OB 为长 OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n1）3=12 n3，对角线 AB 上的整点个数总为 3，AOB 内部（不包括边界）的整点个数 m=（12 n33）2=6n3。2. （2012 河北省 3 分）某数学活动小组的 20 名同学站成一列做报数游戏
10、，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加 1，第一同学报（ +1），第二位1同学报（ +1），第三位同学报（ +1），这样得到的 20 个数的积为 。1213【答案】21。【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。【分析】第一同学报（ +1）=2，第二位同学报（ +1）= ，第三位同学报（ +1）=112313，第 20 位同学报（ +1）= ，4320这 20 个数的积为 。3451203. （2012 内蒙古赤峰 3 分）将分数 化为小数是 ，则小数点后第 2012 位上的数是 670.857142 【答案】5。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】观察 ，
11、得出规律：6 个数为一循环，若余数为 1，则末位数字为 8；若0.857142余数为 2，则末位数字为 5；若余数为 3，则末位数安为 7；若余数为 4，则末位数字为 1；若余数为 5，则末位数字为 4；若余数为 0，则末位数字为 2。 化为小数是 ，20126=3352。670.8712小数点后面第 2012 位上的数字是：5。4. （2012 山西省 3 分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 【答案】4n2。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个，第二图案有阴影小三角形 2
12、+4=6 个，第三个图案有阴影小三角形 2+8=12 个，那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4（n1）=4n2 个。5. （2012 山西省 3 分）图 1 是边长为 30 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2 所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的 2 倍，则它的体积是 cm 3/ 22- 7 -三、解答题1. （2012 北京市 5 分）操作与探究：（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 13，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P.点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对
13、应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是 3，则点 A表示的数是 ；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点E与点 E 重合，则点 E 表示的数是 ；（2）如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0,n0） ，得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A,B 的对应点分别为 A,B。已知正方形 ABCD内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F
14、的坐标。【答案】解：（1）0；3； 。32（2）根据题意得， ，解得 .am1 320n1a2n设点 F 的坐标为（x，y），对应点 F与点 F 重合， ，解得 。1x2yx1y4点 F 的坐标为（1，4）。【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B表示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解： 点 A：3 +1=1+1=0。13设点 B 表示的数为 a，则 a+1=2，解得 a=3。设点 E 表示的数为 b，则 a+1=
15、b，解得 b= 。1332（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点 F 的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。/ 22- 9 -2. （ 2012 北京市 7 分）在 中， ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BMABC =BAC上上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 得到线段 PQ。2（1） 若 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的度数；（2） 在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB
16、的大小（用含 的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出 的范围。【答案】解：（1）补全图形如下：CDB=30。（2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD 与CPD 中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS） 。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQ
17、C=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180APQ=1802，即 2CDB=1802。CDB=90。（3）4560。【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。【分析】 （1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ 是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M 是 AC 的中点，BMAC，AM=AC。将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ，AM=MQ，AMQ=120。 CM=MQ，CMQ=60。CMQ 是等边三
18、角形。ACQ=60。CDB=30。（2）首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90，且 PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。点 P 不与点 B，M 重合，BADPADMAD。21802，4560。3. （2012 天津市 10 分）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点 B（0，6），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t（）如图，当BOP=30 0时，求点 P 的坐标；（）如图
19、，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，若AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。/ 22- 11 -OP 2=OB2+BP2，即（2t） 2=62+t2，解得：t 1= ，t 2= （舍去）3点 P 的坐标为（ ，6）。3（）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC
20、+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。 。OBPCQ由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11t，CQ=6m 。 （0t11）。6t1m21t 6（）点 P 的坐标为（ ，6）或（ ，6）。3+13【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据题意得，OBP=90，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（）由OBP、QCP 分别是由OBP、
21、QCP 折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 ，即可求得 t 的值： 21mt t6过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。 。P CAQPC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m， 。2AC Q 3612m 。61t 3m ，即 ， ，即 。t16tt6=t3122361m=t将 代入，并化简
22、，得 。解得：2t 6t 0。13+3tt上点 P 的坐标为（ ，6）或（ ，6）。131+34. （2012 河北省 12 分）如图 1 和 2，在ABC 中，AB=13，BC=14，cosABC= 513探究：如图 1，AHBC 于点 H，则 AH= ，AC= ，ABC 的面积 SABC = ；拓展：如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合），分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F，设 BD=x，AE=m，CF=n（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD =0）（1）用含 x，m，n 的代数式表示 SABD 及 SCBD ；（2）求（m+n）与 x 的函
23、数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围发现：请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值【答案】解：探究：12；15；84。拓展：（1）由三角形面积公式，得， 。ABD1SExm2CBD1SFxn2（2）由（1）得 ， ，ABDn/ 22- 13 - CBDACA2S168m+nxxABC 中 AC 边上的高为 ，5=x 的取值范围为 。5614 随 x 的增大而减小，+n当 时， 的最大值为 15，当 时， 的最=5mx=14m+n小值为 12。（3）x
24、的取值范围为 或 。6x13 0 )。（1）连接 DP ，经过 1 秒后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接 PQ ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行。为什么？（3）当 t 为何值时，EDQ 为直角三角形。【答案】解：（1）不能。理由如下：假设经过 t 秒时四边形 EQDP 能够成为平行四边形。点 P 的速度为 1 厘米秒，点 Q 的速度为 1 . 25 厘米秒，AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米。又PEBC，AEPADC。 。EPADCAC=4 厘米，BC=5 厘米，CD=3 厘米， ，解得，EP=0.75t 厘米。EPt3
25、4又 ，5QDBCt321.5t4由 EP=QD 得 ，解得 。21.t=07=只有 时四边形 EQDP 才能成为平行四边形。t经过 1 秒后，四边形 EQDP 不能成为平行四边形。/ 22- 15 -（2）AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米，AC=4 厘米，BC=5 厘米， 。 。PC4tQ51.2t4AB上 PCQAB又C=C，PQCABC。PQC=B。PQAB。在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行。（3）分两种情况讨论：当EQD=90时，显然有 EQ=PC=4t，DQ=1.25t2又EQAC，EDQADC。 ，即 ，EQDAC4t1.25t3解得 。t
26、=2.5当QED=90时，CDA=EDQ，QED=C=90，EDQCDA。 。DQRtEAC上边边RtEDQ 斜边上的高为 4t，RtCDA 斜边上的高为 2.4， ，解得 t =3.1。1.25t.综上所述，当 t 为 2.5 秒或 3.1 秒时，EDQ 为直角三角形。【考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。【分析】（1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有 时四边形 EQDP 才能成t=1为平行四边形的结果，从而得出经过 1 秒后，四边形 EQDP 不能成为平行四边形的结论。（2）由PQCABC 得PQC=B，从而得到在运动过程中，不
27、论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行的结论。（3）分EQD=90和QED=90两种情况讨论即可。6. （2012 内蒙古赤峰 14 分）阅读材料：（1）对于任意两个数 的大小比较，有下面的方法：ab、当 时，一定有 ；ab0当 时，一定有 ；当 时，一定有 ab反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法” （2）对于比较两个正数 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：ab、 ，2ab()0（ ）与（ ）的符号相同当 0 时， 0，得2aabab当 =0 时， =0，得b当 0 时， 0，得2aaa解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，
28、张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B5 纸设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且xy，张丽同学的用纸总面积为 W1，李明同学的用纸总面积为 W2回答下列问题：W 1= （用 x、y 的式子表示）W2= （用 x、y 的式子表示）请你分析谁用的纸面积最大（2）如图 1 所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 AB 两镇供气，已知 AB到 l 的距离分别是 3km、4km（即 AC=3km，BE=4km） ，AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图 2 所示，APl 于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道
29、长度 a1=AB+AP方案二：如图 3 所示，点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P处，该方案中管道长度 a2=AP+BP在方案一中，a 1= km（用含 x 的式子表示） ；在方案二中，a 2= km（用含 x 的式子表示） ；请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二【答案】解：（1）3x+7y；2x+8y。/ 22- 17 -W 1W 2=（3x+7y）（2x+8y）=xy，xy，xy0。W 1W 20。W 1W 2， 所以张丽同学用纸的总面积大。 （2）x+3。 。2x48 22 21a=+3x48=+6x948=6x39当 0（即 a
30、1a 20，a 1a 2）时，6x390，解得2x6.5；当 =0（即 a1a 2=0，a 1=a2）时，6x39=0，解得 x=6.5；21a当 0（即 a1a 20，a 1a 2）时，6x390，解得x6.5。综上所述，当 x6.5 时，选择方案二，输气管道较短，当 x=6.5 时，两种方案一样，当 0x6.5 时，选择方案一，输气管道较短。【考点】整式的混合运算，轴对称（最短路线问题）。【分析】（1）W 1=3x+7y，W 2=2x+8y。（2）a 1=AB+AP=x+3。过 B 作 BMAC 于 M，则 AM=43=1，在ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB21 2=x21，在AM
31、B 中，由勾股定理得：AP+BP=AB= 。22ABx48根据阅读材料的方法求解。9. （2012 山西省 14 分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+2x+3与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM
32、的周长最小，求出 M 点的坐标【答案】解：（1）当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3。点 A 在点 B 的左侧，AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 。当 x=0 时，y=3。C 点的坐标为（0，3） 。设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k 10） ，则/ 22- 19 -，解得 。1b=3k+01k=3b直线 AC 的解析式为 y=3x+3。y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4） 。（2）抛物线上有三个这样的点 Q。如图，当点 Q 在 Q1位置时，Q 1的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q1的坐标为（2，3） ；当点
33、 Q 在点 Q2位置时，点 Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点 Q2坐标为（1+ ，3） ；7当点 Q 在 Q3位置时，点 Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为（1 ，3） 。综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为：Q 1（2，3） ，Q 2（1+ ，3） ，7Q3（1 ，3） 。7（3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求。过点 B作 BEx 轴于点 E。1 和2 都是3 的余角，1=2。RtAOCRtAFB。 。COA=BF由 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0
34、，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC= ，AB=4 。1 ，解得 。BB=2BF= ，30=BF4610BF=51205由1=2 可得 RtAOCRtBEB， 。AOC=BE 。BE= ，BE= 。OE=BEOB= 3= 1310=E25 1253636521B点的坐标为（ ， ） 。设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k 20） ，则，解得 。2k+b=41524=138b直线 BD 的解析式为： 。4yx+13联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：，解得 。y3x48=+19=5132yM 点的坐标为（ ） 。95 上【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程
35、的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线 y=x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点可求得 AB 两点的坐标，同样，由由抛物线 y=x 2+2x+3 与 y 轴交于点 C可求得 C 点的坐标。用待定系数法，可求得直线 AC 的解析式。由y=x 2+2x+3=（x1） 2+4 可求得顶点 D 的坐标。（2）由于点 P 在 x 轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点 Q 的坐标。（3）点 B 作 BBAC 于点 F，使
36、 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点 M 为所求。因此，由勾股定理求得 AC= ，AB=4。由 RtAOCRtAFB 求得10，从而得到 BB=2BF= 。由 RtAOCRtBEB 得到 BE= ，BE= 610BF=525 12536，OE=BEOB= 3= ，从而得到点 B的坐标。用待定系数法求出线 BD 的解析式，315与直线 AC 的解析式即可求得点 M 的坐标。10. （2012 内蒙古呼伦贝尔 13 分）如图，在平面直角坐标系内，RtABCRtFED，点 C、D 与原点 O 重合，点 A、F 在
37、 y 轴上重合，B=E=30，AC=FD= FED 不动，3ABC 沿直线 BE 以每秒 1 个单位的速度向右平移，直到点 B 与点 E 重合为止，设移动 x 秒后两个三角形重叠部分的面积为 S/ 22- 21 -（1）求出图中点 B 的坐标；（2）如图，当 x=4 秒时，点 M 坐标为（2， ） ，求出过 F、M、A 三点的抛物线的解析3式；此抛物线上有一动点 P，以点 P 为圆心，以 2 为半径的P 在运动过程中是否存在与 y轴相切的情况？若存在，直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由（3）求出整个运动过程中 S 与 x 的函数关系式【答案】解：（1）如图，在 RtABC 中，AC=
38、 ，B=30，3BC= AC=3，即 B（3，0） 。3（2）如图，x=4，A（4， ） 。3设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c，依题意，有：，解得 。c=34a+2b16a=623bc抛物线的解析式： 。23yx36若半径为 2 的P 与 y 轴相切，那么点 P 的横坐标为 2 或2。当 x=2 时， ；2=33当 x=2 时， 。y26存在符合条件的点 P，且坐标为（2， ）或（2， ） 。33（3）当点 B、O 重合时，x=3，所以整个过程可分作两个阶段：0x3 时，如右图，BO=3x，CD=x，OG=CH= BO= （3x） ，3FG= （ 3x）= x，3。2FGMFDCH1
39、3133S+xx=x+224上3x6 时，如右图，BE=6x，。2BME16x3Sx3221综上所述，S= 。2+043x3x61【考点】二次函数综合题，平移问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质。【分析】 （1）求图中点 B 的坐标，就需要求出线段 BC 的长，在 RtABC 中，已知 AC 的长以及B 的度数，由B 的正弦函数即可求出 BC 的长。（2）求出点 A 向右平移 4 个单位后的坐标，由点 F、M 坐标已知，利用待定系数法确定抛物线的解析式。在求点 P 的坐标时，需要注意P 与 y 轴相切的条件，P 的半径为2，那么点 P 的横坐标必为2，代入前面求得的抛物线解析式中，即可得到点 P 的坐标。（3）分作两个阶段考虑：当点 B 在点 O 左侧时，两个三角形的重叠部分是五边形，那么它的面积可由直角梯形的面积减去左上角的小三角形的面积求得；当点 B 运动到线段 DE 上时，两个三角形的重叠部分是等腰三角形，BE 的长易知，而 BE 边上的高为 BE，则面积易得。312/ 22- 23 -
