1、专题 55：动态型问题一、选择题1. （2012 安徽省 4 分）如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 ，与O 过 A 点的切线交于点 B，且APB=60 ，设 OP= x，则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【 】【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用 AB 与O 相切，BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用 x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： AB 与O 相切，BAP=90，OP=x，AP=2x，BPA=60 ，AB= ，3(2x)APB 的面积 ， （
2、0x2 ） 。23y(x)PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在 0x2的部分。故选 D。2. （2012 浙江嘉兴、舟山 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABDCA 的路径运动，回到点 A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是【 】A BC D/ 151- 2 -【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】因为动点 P 按沿折线 ABDCA 的路径运动，因此，y 关于 x 的函数图象分为四部分：AB，BD，DC，CA。当动点 P 在 AB 上时，函数 y 随
3、 x 的增大而增大，且 y=x，四个图象均正确。当动点 P 在 BD 上时，函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项 B 错误。当动点 P 在 DC 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，故选项 A，C 错误。当动点 P 在 CA 上时，函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选D。3. （2012 浙江温州 4 分）如图，在ABC 中，C=90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知P，Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ
4、.在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是【 】A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案】C。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图所示，连接 CM，M 是 AB 的中点，S ACM =SBCM = SABC ，12开始时，S MPQ =SACM = SABC ；由于 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 也到达 BC 的中点，此时，S MPQ = SABC ；14结束时，S MPQ =SBCM = SABC 。12MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选 C。4. （2012 江苏无锡 3 分）如图，以 M
5、（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB两点，P 是M 上异于 AB 的一动点，直线 PAPB 分别交 y 轴于 CD，以 CD 为直径的N 与 x 轴交于 E、F ，则 EF 的长【 】A 等于 4 B 等于 4 C 等于 6 D随 P 点【答案】C。【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。【分析】 连接 NE，设圆 N 半径为 r，ON=x，则 OD=rx，OC=r+x ，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB 两点，OA=4+5=9，0B=5 4=1 。AB 是M 的直径，APB=90。BOD=90，PAB+PBA
6、=90，ODB+OBD=90。PBA=OBD，PAB=ODB 。APB=BOD=90，OBDOCA。 ，即 ，即OCD=BAr+x9=1r2 x2=9。由垂径定理得：OE=OF，由勾股定理得：OE 2=EN2ON 2=r2x 2=9。OE=OF=3 ， EF=2OE=6。故选 C。5. （2012湖北黄冈3分）如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB方向以/ 151- 4 -每秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终2点C 运动，将PQC沿 BC翻折，点P 的对应点为点 P.设Q点运动的时间t秒，若四边形QP
7、CP为菱形，则t的值为【 】A. B. 2 C. D. 4 22【答案】B。【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。【分析】如图，过点 P 作 PDAC 于点 D，连接 PP。由题意知，点 P、P关于 BC 对称，BC 垂直平分 PP。QP=QP，PE=PE。根据菱形的性质，若四边形 QPCP是菱形则 CE=QE。C=90，AC=BC，A=45 0。AP= t，PD= t。2易得，四边形 PDCE 是矩形，CE=PD= t，即 CE=QE= t。又 BQ= t，BC=6 ，3 t=6，即 t=2。若四边形 QPCP为菱形，则 t 的值为 2。故选 B。 6.
8、（2012 四川攀枝花 3 分）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5，4） ，AD=2 若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线OAADDC 运动，到达 C 点时停止；F 点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度设 E 运动秒 x 时，EOF 的面积为 y（平方单位） ，则 y 关于x 的函数图象大致为【 】A B C D【答案】 C。【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。【分析】如图，过点 A 作 AGOC 于点 G。D（5，4） ，AD=2，O
9、C=5，CD=4 ，OG=3 。根据勾股定理，得 OA=5。点 E、F 的运动的速度都是每秒 1 个单位长度，点 E 运动 x 秒（x5）时，OE=OF=x。当点 E 在 OA 上运动时，点 F 在 OC 上运动，当点 E 在 AD 和 DC上运动时，点 F 在点 C 停止。（1）当点 E 在 OA 上运动，点 F 在 OC 上运动时，如图，作 EHOC 于点 H。EHAG 。 EHOAGO 。 ，即 。EHOAGx45 。 。4Hx5 2EOF1y=Sx25此时，y 关于 x 的函数图象是开口向上的抛物线。故选项 AB 选项错误。（2）当点 E 在 AD 上运动，点 F 在点 C 停止时，E
10、OF 的面积不变。 。EOF11y=SHOAG54022（3）当点 E 在 DC 上运动，点 F 在点 C 停止时，如图。EF=OAADDCx =11x，OC=5。/ 151- 6 - 。EOF15y=SC51x+22此时，y 关于 x 的函数图象是直线。故选项 D 选项错误，选项 C 正确。故选 C。7. （2012 四川内江 3 分）如图，正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm的速度，沿 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒） ， ,AB2yPC则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 】A. B. C. D. 【答案】C。【考点】动点问题的函数
11、图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】如图，过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 D，则正ABC 的边长为 3，A=B=C=60，AC=3。AD= ，CD= 。32当 0x3时，即点 P 在线段 AB 上时，AP=x，PD= （0x3） 。3x2 （0x3 ） 。2223yC+x+9该函数图象在 0x3上是开口向上的抛物线。当 3x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC=（6x） （3x6） ；y=（6x） 2=（x-6） 2（3x6） ，该函数的图象在 3x6 上是开口向上的抛物线。综上所述，该函数为 。符合此条件的图象为 C。故2x3+90x3y
12、6（ ）（ ） （ ）选 C。8. （2012 四川广元 3 分） 如图，点 A 的坐标为（-1， 0） ，点 B 在直线 上运动，当yx线段 AB 最短时，点 B 的坐标为【 】A.（0，0） B.（ ， ） C.（ ， ） D.（ ，2122）2【答案】B。【考点】一次函数的性质，垂线段最短的性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，过点 A 作 ABOB，垂足为点 B，过 B作 BCx 轴，垂足为 C。由垂线段最短可知，当 B与点 B 重合时 AB 最短。点 B 在直线 y=x 上运动，AOB是等腰直角三角形。BCO 为等腰直角三角形。点 A 的坐标为（-1，0） ，OC=CB=
13、OA= 1= 。1212B坐标为（ ， ） 。12当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（ ， ） 。故选 B。129. （2012 四川巴中 3 分）如图，点 P 是等边ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，其由点 A 开始沿AB 边运动到 B，再沿 BC 边运动到 C 为止，设运动时间为 t，ACP 的面积为 S，则 S 与t 的大致图象是【 】/ 151- 8 -【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质。【分析】设等边三角形的边长为 a，高为 ，点 P 的运动速度为 v，根据等3h=a2边三角形的性质可得出点 P 在 AB 上运动时ACP 的面积为 ，也可13aS=tht2
14、4得出点 P 在 BC 上运动时ACP 1 的面积为 。213Savt+2可见，ACP 的面积 S 都是关于 t 的一次函数关系式。如图，根据正三角形轴对称的性质，当 AP=AP1 时，两三角形全等，它们是关于BD（AC 边上的中线）对称的，其中当点 P 与点 B 重合时面积最大。点 P 在在 AB 上运动和在 BC 上运动得到的三角形是对称的。故选 C。10. （2012 四川乐山 3 分）如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接DE、DF、EF 在此运动变化的过程
15、中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接 CD（如图 1） 。ABC 是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADE CDF （SAS） 。ED=DF，CDF=EDA 。ADE+EDC=90 ， EDC+CDF=EDF=90。DFE 是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别
16、为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于BC。12四边形 CEDF 是平行四边形。又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。又C=90，四边形 CEDF 是正方形。故此结论错误。如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，于点 M，N，由，知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。Rt ADERtCDF（HL） 。由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。故此结论错误。由，DEF 是等腰直角三角形，DE= EF。2当
17、 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此时点 C 到线段 EF的最大距离为 。2故此结论正确。故正确的有 2 个：。故选 B。11. （2012 辽宁鞍山 3 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=BC=4，DEBC 于点 E，且 E 是 BC 中点；动点 P 从点 E 出发沿路径 EDDAAB/ 151- 10 -以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；设点 P 的运动时间为 t 秒，PBC 的面积为S，则下列能反映 S 与 t 的函数关系的图象是【 】A B C D【答案】B。【考点】动点问题的函数图象。【分析】分别求出点 P 在
18、DE、AD、AB 上运动时，S 与 t 的函数关系式，结合选项即可得出答案：根据题意得：当点 P 在 ED 上运动时，S= BCPE=2t；12当点 P 在 DA 上运动时，此时 S=8；当点 P 在线段 AB 上运动时，S= BC（AB+AD+DEt ）=5 t。12结合选项所给的函数图象，可得 B 选项符合。故选 B。 12. （ 2012 辽宁铁岭 3 分）如图， ABCD 的 AD 边长为 8，面积为 32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在 ABCD 的顶点上，它们的各边与ABCD 的各边分别平行，且与 ABCD 相似.若小平行四边形的一边长为 x，且 0x8，阴影部分的面积的和为
19、 y，则y 与 x 之间的函数关系的大致图象是【 】A. B. C. D. 【答案】D。x【考点】动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似多边形的性质。【分析】四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD 的顶点上，阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。ABCD 的 AD 边长为 8，面积为 32，小平行四边形的一边长为 x，阴影部分的面积的和为 y，且小平行四边形与ABCD 相似， ，即 。2x=3821yx又0x8，纵观各选项，只有 D 选项图象符合 y 与 x 之间的函数关系的大致图象。故选 D。13. （2012 辽宁营口 3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，B= 动
20、点 P 从点 B 出发，30沿 B-C-D 的路线向点 D 运动设ABP 的面积为 (B、 P 两点重合时，ABP 的面积可y以看做 0)，点 P 运动的路程为 ，则 与 之间函数关系的图像大致为【 】xy【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】当点 P 在 BC 上运动时，如图，ABP 的高 PEBPsiB，01si32xx ABP 的面积 。11ABPE=22yx当点 P 在 BC 上运动时，如图，ABP 的高 PFBCsi B1,ABP 的面积 。CF1y因此，观察所给选项，只有 C 符合。故选 C。14. （2012 山东德州
21、3 分）由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是【 】/ 151- 12 -A B C D【答案】B。【考点】几何变换的性质。【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质即可得出正确结果：A、图中三角形经过一次平移变换可得，故选项错误；B、图中三角形需经过一次旋转和一次轴对称变换后，才能得到，故选项正确；C、图中三角形经过一次轴对称变换可得，故选项错误；D、图中三角形经过一次旋转变换可得，故选项错误。故选 B。15. （2012 山东烟台 3 分）如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B 重合） 过 Q 作 QMPA 于 M，QNPB
22、 于 N设 AQ 的长度为 x，QM 与QN 的长度和为 y则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是 【 】A B C D【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图，连接 PQ，作 PEAB 垂足为 E，过 Q 作 QMPA 于 M，QNPB 于 N，S PAB = PEAB，S PAB =SPAQ +SPQB = QNPB+ PAMQ。1212矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点， PA=PB。QM 与 QN 的长度和为 y，S PAB =SPAQ +SPQB = QNPB+ PAMQ= PB（QM+QN ）= PBy。121212S PAB = PEAB= PBy， 。
23、12PEABPE=AD，PB ，AB，PB 都为定值。y 的值为定值，符合要求的图形为 D。故选 D。16. （2012 山东济南 3 分）如图，MON=90 ，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1 ，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】A B C 5 D 215142【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE 、OD，ODOE+DE，当 O、D、E 三点
24、共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，AB=2 ，BC=1 ，OE=AE= AB=1。12DE= ，22AOD 的最大值为： 。故选 A。117. （2012 山东临沂 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分别沿 ABC 和 ADC 的路径向点 C 运动，设运动时间为/ 151- 14 -x（单位：s） ，四边形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm 2） ，则 y 与 x（0x8）之间函数关系可以用图象表示为【 】A B C D【答案】B。【考点】动点问题的函数图象。【分析】0x4 时，y=S ABDS APQ = 4
25、4 xx= x2+8，1214x8 时，y=S BCD S CPQ = 44 （8x）（8x）= （8x）12+8，y 与 x 之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有 B 选项图象符合。故选 B。18. （2012 广西桂林 3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿BCCD 方向运动，当 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动设 P 点运动的时间为 t，APQ 的面积为 S，则 S 与 t的函数关系的图象是
26、【 】A B C D【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质。【分析】动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BCCD 方向运动，点 Q 运动到点 C 的时间为 42=2 秒。由题意得，当 0t2时，即点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，AP=t，BQ=2t，为开口向上的抛物线的一部分。21SAPt2当 2t4 时，即点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，AP=t，AP 上的高为 4，为直线（一次函数）的一部分。4t观察所给图象，符合条件的为选项 D。故选 D。19. （2012 广西北海 3 分）如图，等边ABC 的周长为 6，半径是 1 的O 从
27、与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则O 自转了：【 】A2 周 B3 周 C4 周 D5 周/ 151- 16 -【答案】C。【考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：O 在三边运动时自转周数： 62 =3：O 绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周。O 自转了 3+1=4 周。故选 C。20. （2012 广西来宾 3 分）如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是
28、O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是【 】A30 B45 C60 D90【答案】A。【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，当点 P 运动到点 P，即 AP与O 相切时，OAP 最大。连接 O P，则 A PO P ，即AO P是直角三角形。OB=AB，OB= O P，OA=2 O P。 。OAP=30 0，即OAP 的最大值是=30 0。故选 A。P1sin221. （2012 甘肃白银 3 分） 如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于D，E 两点，且ACD=45，DFAB 于点 F，EG AB 于点 G，当点 C 在 A
29、B 上运动时，设 AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是【 】A B C D【答案】 A。【考点】函数的图象。【分析】如图，根据题意知，当点 C 在 AB 上运动时，DE 是一组平行线段，线段 DE 从左向右运动先变长，当线段 DE 过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项 A。故选 A。22. （ 2012 甘肃兰州 4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 BC2cm，F 是弦 BC 的中点，ABC60若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 ABA 方向运动，设运动时间为 t(s)(0t3)，连接 EF，
30、当BEF 是直角三角形时，t(s)的值为【 】A B 1 C 或 1 D 或 1 或7474749【答案】D。【考点】动点问题，圆周角定理，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。【分析】若BEF 是直角三角形，则有两种情况：BFE90，BEF90，分别讨论如下：AB 是O 的直径，ACB90 。RtABC 中，BC 2，ABC60，AB2BC 4cm。当BFE90时；RtBEF 中，ABC 60 ，则 BE2BF2cm 。此时 AEABBE2cm。E 点沿着 ABA 方向运动， E 点运动的距离为：2cm 或6cm。点 E 以 2cm/s 的速度运动，t1s 或 3s。/ 151
31、- 18 -0t3，t3s 不合题意，舍去。当BFE90时，t1s。当BEF90时，同可求得 BE cm，此时 AEABBE cm。1272E 点沿着 ABA 方向运动， E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm。点 E 以 2cm/s 的速度运动，t s 或 s（二者均在 0t3 内） 。49综上所述，当 t 的值为 1、 或 s 时，BEF 是直角三角形。故选 D。723. （2012 黑龙江绥化 3 分）如图，点 A、B、C、D 为O 的四等分点，动点 P 从圆心 O出发，沿 OC 的路线做匀速运动，设运动的时间为 t 秒，APB 的度数为 yOCD弧度，则下列图象中表示 y（度）
32、与 t（秒）之间函数关系最恰当的是【 】A B C D【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，三角形外角性质，圆周角定理。【分析】当动点 P 在 OC 上运动时，根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得APB 逐渐减小；当动 P 在 CD 上运动时，根据同弧所以圆周角相等性质，得APB 不变；当动 P 在 DO 上运动时，同样根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得APB 逐渐增大。故选 C。24. （2012 黑龙江龙东地区 3 分）如图所示，四边形 ABCD 是边长为 4cm 的正方形，动点P 在正方形 ABCD的边上沿着 ABCD 的路径以 1cm/s 的速度运动，在这个运动过程
33、中APD 的面积s(cm2)随时间 t（s ）的变化关系用图象表示，正确的是【 】A . B . C . D. 【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】分别判断点 P 在 AB、在 BC 上分别运动时， APD 的面积 s（cm2）的变化情况用排它法求解即可：点 P 在 AB 上运动时， APD 的面积 S 将随着时间的增多而不断增大，可排除B；点 P 在 BC 上运动时，APD 的面积 s 随着时间的增多而不再变化，可排除 A和 C。故选 D。二、填空题1. （2012 浙江义乌 4 分）如图，已知点 A（0，2） 、B（ ，2） 、C（0，4） ，过点 C 向右作平行于 x 轴的射
34、线，点 P 是射线上的动点，连接 AP，以 AP 为边在其左侧作等边APQ，连接 PB、BA若四边形 ABPQ 为梯形，则：（1）当 AB 为梯形的底时，点 P 的横坐标是 ；（2）当 AB 为梯形的腰时，点 P 的横坐标是 【答案】 ， 。23【考点】梯形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值，平/ 151- 20 -行四边形的判定和性质。【分析】 （1）如图 1：当 AB 为梯形的底时，PQAB，Q 在 CP 上。APQ 是等边三角形， CPx 轴，AC 垂直平分 PQ。A（0，2） ，C（0，4） ，AC=2。 。32Ptan=当 AB 为梯形的底时，点 P 的横
35、坐标是：。23（2）如图 2，当 AB 为梯形的腰时，AQBP，Q 在 y 轴上。BPy 轴。CP x 轴，四边形 ABPC 是平行四边形。CP=AB= 。23当 AB 为梯形的腰时，点 P 的横坐标是： 。232. （2012 江苏 苏州 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ，A=60，动点 P 从 A 点出发，以 1cm/s的速度沿着 ABCD 的方向不停移动，直到点 P 到达点 D 后才停止.已知PAD 的面积 S（单位： ）2与点 P 移动的时间 t（单位：s）的函数关系式如图所示，则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）.【答案】4 。23【考点】动点问
36、题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】由图可知，t 在 2 到 4 秒时，PAD 的面积不发生变化，在 AB 上运动的时间是 2 秒，在 BC 上运动的时间是 42=2 秒。动点 P 的运动速度是 1cm/s，AB=2，BC=2。过点 B 作 BEAD 于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F，则四边形 BCFE 是矩形。BE=CF，BC=EF=2。A=60， ， 。3EAsin6021AEBcos602由图可ABD 的面积为 ， ，即 ， 解得 AD=6。1DB3 21D32DF=ADAE EF=6 12=3。在 Rt CDF 中， ，22
37、 CF+=3动点 P 运动的总路程为 ABBCCD=22 =4 （cm） 。2动点 P 的运动速度是 1cm/s，点 P 从开始移动到停止移动一共用了（4+ ）1=4+ s。333. （2012 江苏扬州 3 分）如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE ，那么 DE 长的最小值是 【答案】1。【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。【分析】设 ACx，则 BC2x，ACD 和BCE 都是等腰直角三角形，DCA45，ECB 45，DC ，CE 2x2(x)。DCE90
38、。DE 2DC 2CE 2（ ） 2 2x 22x 2(x1) 21。x()。/ 151- 22 -当 x1 时，DE 2 取得最小值， DE 也取得最小值，最小值为 1。4. （2012 福建厦门 4 分）如图，已知ABC90，ABr，BC ，半径为 r 的O 从r2点 A 出发，沿 ABC 方向滚动到点 C 时停止.请你根据题意，在图上画出圆心 O 运动路径的示意图；圆心 O 运动的路程是 .【答案】2r。【考点】作图题，弧长的计算。【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO 1，O 1O2 ，O 2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：圆心 O 运动路径如图：OO 1=AB=r
39、；O 1O2 = ；O 2O3=BC= ，90r181r圆心 O 运动的路程是 r+ + =2r。r5. （2012 湖北鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC 中，BC= ，ABC=45，BD 平分24ABC，M 、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 。【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM。ABC 的平分线交 AC 于点 D，EBM=NBM。在AME 与AMN 中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS
40、 ） 。ME=MN。CM+MN=CM+MECE 。又CM+MN 有最小值，当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值。BC= ，ABC=45， CE 的最小值为 sin450=4。4242CM+MN 的最小值是 4。6. （2012 湖北荆门 3 分）如图（1）所示，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、Q同时从点 B 出发，点 P 沿折线 BEED DC 运动到点 C 时停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C时停止，它们运动的速度都是 1cm/秒设 P、Q 同发 t 秒时， BPQ 的面积为 ycm2已知y 与 t 的函数关系图象如图（ 2） （曲线 OM 为抛物
41、线的一部分） ，则下列结论：AD=BE=5； cos ABE= ；当 0t5 时， ；当 秒时，ABE2y= t59t4QBP；其中正确的结论是 （填序号） 【答案】。【考点】动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。【分析】根据图（2）可知，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/秒，BC=BE=5。AD=BE=5。故结论正确。又从 M 到 N 的变化是 2，ED=2。AE=ADED=52=3。在 Rt ABE 中， ，22AB= E =53 4/ 151- 24 - 。故结论错误。AB4cos E=5过点
42、P 作 PFBC 于点 F，ADBC， AEB=PBF，sinPBF=sinAEB= 。AB4=E5PF=PBsinPBF= t。45当 0t5 时， 。故结论正确。214y=BQPFt= t25当 秒时，点 P 在 CD 上，29t4此时，PD= BEED= ，PQ=CDPD=49124。15=4 ， 。AB4Q5=1E3P3 。ABQ=EP又A= Q=90，ABEQBP。故结论正确。综上所述，正确的有。7. （2012 湖南张家界 3 分）已知线段 AB=6，CD 是 AB 上两点，且 AC=DB=1，P 是线段 CD 上一动点，在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF
43、，G 为线段 EF 的中点，点 P 由点 C 移动到点 D 时，G 点移动的路径长度为 【答案】2。【考点】动点问题。等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理。【分析】如图，分别延长 AE、BF 交于点 H，连接 HD，过点 G 作 MNAB分别交 HA、HD 于点 M、N。APE 和PBF 是等边三角形，A= FPB=60 ，B=EPA=60。AHPF，BHPE。四边形 EPFH 为平行四边形。EF 与 HP 互相平分。点 G 为 EF 的中点，点 G 也正好为 PH 中点，即在点 P 的运动过程中，点 G 始终为 PH 的中点。点 G 的运行轨迹为HCD 的中
44、位线 MN，AB=6， AC=DB=1，CD=611=4。MN=2，即 G 的移动路径长为 2。8. （2012 山东莱芜 4 分）在 ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 三、解答题1. （2012 上海市 14 分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 是弧 AB上的一个动点（不与点 A、B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D、E（1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长；（2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设 BD=x，DOE 的面积为 y，求 y
45、关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域/ 151- 26 -【答案】解：（1）点 O 是圆心， ODBC，BC=1 ， BD= BC= 。12又OB=2， 。25D=B（2）存在，DE 是不变的。如图，连接 AB，则 。2AO+D 和 E 是中点，DE= 。1B=（3）BD=x， 。24x1=2，3= 4，AOB=90 0。2+3=45。过 D 作 DFOE，垂足为点 F。DF=OF= 。24x由BODEDF，得 ，即BDO=E，解得 EF= x。2x4=EF12OE= 。2x+4。22214x+4x+yDFOE=0x2 。【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线
46、定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 ODBC ，根据垂径定理可得出 BD= BC= ，在 RtBOD 中利用勾股12定理即可求出 OD 的长。（2）连接 AB，由AOB 是等腰直角三角形可得出 AB 的长，再由 D 和 E 是中点，根据三角形中位线定理可得出 DE= 。2（3）由 BD=x，可知 ，由于1=2，3=4，所以2+3=45，ODx过 D 作 DFOE，则 DF=OF= ，EF= x，OE= ，即可求得 y 关于 x412+4x的函数关系式。 ，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合） ，2AB=O+ 。0x2. （2012 山西省 14 分）综合与实践：如
