1、2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例 5 已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC在 x 轴的正半轴上， OA2， OC3，过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE DC，交 OA 于点 E（1）求过点 E、 D、 C 的抛物线的解析式；（2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 56，那么 EF2 GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成
2、立，请说明理由；（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、 G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 重庆 26”，拖动点 G 在 OC 上运动，可以体验到， DCG与 DEF 保持全等，双击按钮“ M 的横坐标为 1.2”，可以看到， EF2， GO1拖动点 P 在 AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻， PCG 可以成为等腰三角形思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到2过
3、点 M 作 MN AB，根据对应线段成比例可以求 FA 的长3将 EDC 绕点 D 旋转的过程中， DCG 与 DEF 保持全等4第（3）题反客为主，分三种情况讨论 PCG 为等腰三角形，根据点 P 的位置确定点 Q 的位置，再计算点 Q 的坐标满分解答（1）由于 OD 平分 AOC，所以点 D 的坐标为（2，2），因此 BC AD1由于 BCD ADE，所以 BD AE1，因此点 E 的坐标为（0，1）设过 E、 D、 C 三点的抛物线的解析式为 cbxay2，那么 .039,24,cba解得 65a， 13bc因此过 E、 D、 C 三点的抛物线的解析式为2xy（2）把 56x代入 163
4、2xy，求得 1y所以点 M 的坐标为 5,如图 2，过点 M 作 MN AB，垂足为 N，那么 DAFM，即 561FA解得 1FA因为 EDC 绕点 D 旋转的过程中， DCG DEF，所以 CG EF2因此GO1， EF2 GO（3）在第（2）中， GC2设点 Q 的坐标为 1635,2xx如图 3，当 CP CG2 时，点 P 与点 B（3，2）重合， PCG 是等腰直角三角形此时 GQxy，因此 1615xx。由此得到点 Q 的坐标为 57,2如图 4，当 GP GC2 时，点 P 的坐标为（1，2）此时点 Q 的横坐标为 1，点 Q 的坐标为 613,如图 5，当 PG PC 时，
5、点 P 在 GC 的垂直平分线上，点 P、 Q 与点 D 重合此时点 Q的坐标为（2，2）图 3 图 4 图 5考点伸展在第（2）题情景下， EDC 绕点 D 旋转的过程中， FG 的长怎样变化？设 AF 的长为 m，那么 82)()2( mmFG图 2点 F 由 E 开始沿射线 EA 运动的过程中， FG 先是越来越小， F 与 A 重合时， FG 达到最小值 2； F 经过点 A 以后， FG 越来越大，当 C 与 O 重合时， FG 达到最大值 4例 6 在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（0，4），直线 CM/x 轴（如图 1 所示）点 B
6、与点 A 关于原点对称，直线 y x b（ b 为常数）经过点 B，且与直线 CM 相交于点 D，联结 OD（1）求 b 的值和点 D 的坐标；（2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 POD 是等腰三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆与圆 O 外切，求圆 O 的半径图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 上海 24”，拖动点 P 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到， POD 的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“ PD PO”、“ OD OP”和“ DO DP”可以显示三个等腰三角形在点 P 运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PD PO
7、时，圆 O 不存在思路点拨1第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合2分三种情况讨论等腰三角形 POD 的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性3圆 O 与圆 P 的半径、圆心距都是随点 P 而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变满分解答（1）因为点 A 的坐标为（1，0），点 B 与点 A 关于原点对称，所以点 B 的坐标为（1，0）将 B（1，0）代入 y x b，得 b1将 y 4 代入 y x1，得 x3所以点 D 的坐标为（3，4）（2）因为 D（3，4），所以 OD5， 3cos5DOP如图 2，当 PD PO 时，作 PE O
8、D 于 E在 Rt OPE 中， cos5OEDP，5OE，所以 6此时点 P 的坐标为 2(,0)6如图 3，当 OP OD5 时，点 P 的坐标为 5如图 4，当 DO DP 时，点 D 在 OP 的垂直平分线上，此时点 P 的坐标为 (6,0)图 2 图 3 图 4（3）圆 P 的半径 rD，两圆的圆心距为 OP当两圆外切时，圆 O 的半径Or如图 2，当 PD PO 时， 0Or，此时圆 O 不存在如图 3，当 OP OD5 时，作 DH OP 于 H在 Rt DHP 中， DH4， HP2，所以5DP此时 25OrPD如图 4，当 DO DP 时， 61Or考点伸展如图 5，在本题情景下，如果圆 P 与圆 C 外切，那么点 P 的变化范围是什么？如图 6，当圆 P 经过点 C 时，点 P 在 CD 的垂直平分线上，点 P 的坐标为 3(,0)2因此当点 P 在 x 轴上点 3(,0)2的右边时，圆 P 与圆 C 外切图 5 图 6
