1、第九章 平面解析几何第 4 课时 圆 的 方 程(对 应 学 生 用 书 （文 ）119 121页（理 ）124 126页 )考情分析 考点新知了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程与一般方程能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.1. 方程 x2y 26x0 表示的圆的圆心坐标是_；半径是_答案：(3，0) 3解析：(x3) 2y 29，圆心坐标为(3，0) ，半径为 3.2. 以两点 A( 3，1) 和 B(5，5)为直径端点的圆的方程是_答案：(x1) 2(y 2) 225解析：设 P(
2、x，y)是所求圆上任意一点 A、B 是直径的端点， 0.又PA PB ( 3x，1y)， (5 x，5y) 由 0 (3x)(5x)( 1y)PA PB PA PB (5y)0 x2 2xy 24y200 (x1) 2(y2) 225.3. (必修 2P111 练习 8 改编) 方程 x2y 24mx2y5m0 表示圆的充要条件是_答案： (1 ，)( ，14)解析：由(4m) 2445m0 得 m 或 m1.144. (必修 2P102 习题 1(3)改编 )圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2) 的圆的方程为_答案：x 2(y2) 21解析：设圆的方程为 x2(y b)21，此圆过
3、点(1，2) ，所以 12(2 b) 21，解得b2.故所求圆的方程为 x2(y 2) 21.5. (必修 2P112 习题 8 改编) 点(1 ，1)在圆(xa) 2(y a) 24 内，则实数 a 的取值范围是_答案：(1，1)解析： 点(1，1)在圆的内部， (1a) 2(1 a) 24， 1a1.1. 圆的标准方程(1) 以(a，b) 为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为(x a) 2(y b) 2r 2(2) 特殊的，x 2y 2r 2(r0)的圆心为(0，0) ，半径为 r2. 圆的一般方程方程 x2y 2DxEyF 0 变形为 .(x D2)2 (y E2)2 D2 E2
4、4F4(1) 当 D2E 2 4F0 时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆；( D2， E2) D2 E2 4F2(2) 当 D2E 2 4F0 时，该方程表示一个点 ；( D2， E2)(3) 当 D2E 2 4F0 时，该方程不表示任何图形3. 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2) 根据条件列出关于 a，b，r 的方程组或关于 D，E，F 的方程组；(3) 求出 a，b，r 或 D，E，F 的值，从而确定圆的方程4. 点与圆的位置关系点 M(x0，y 0)与圆(xa) 2(yb) 2r 2 的位置关系：(1
5、) 若 M(x0，y 0)在圆外，则(x 0a) 2(y 0b) 2r2(2) 若 M(x0，y 0)在圆上，则(x 0a) 2(y 0b) 2r 2(3) 若 M(x0，y 0)在圆内，则(x 0a) 2(y 0b) 20，即有 4(m3) 24(1 4m 2)24(16m 49)0 r.（2 1）2 42 25 点 P 在圆外备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知圆 C 的圆心与点 P(2， 1)关于直线 yx1 对称，直线 3x4y110 与圆 C相交于 A、B 两点，且 6，求圆 C 的方程|AB|解：设圆 C 的方程为(xa) 2(y b) 2r 2(r0)，则圆心 C(a，b)，
6、由题意得解得b 1a 2 1，b 12 a 22 1，) a 0，b 1.)故 C(0，1)到直线 3x4y 110 的距离 d 3.| 4 11|5AB6，r 2d 2 18，(AB2)2圆 C 的方程为 x2(y1) 218.例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f(x)x 22xb(xR) 与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆 C.(1) 求实数 b 的取值范围；(2) 求圆 C 的方程；(3) 圆 C 是否经过定点( 与 b 的取值无关) ？证明你的结论解：(1) 令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0 ，b)，令 f(x)0，得 x22xb0，由题意 b0 且 0，解
7、得 b0，b0)始终平分圆 C：x 2y 28x2y10，则 ab 的最大值为_答案：1解析：圆 C 的圆心坐标为(4，1)，则有4ab4 0，即 4ab4.所以ab (4ab) 1.当且仅当 a ，b2 取得等号14 14(4a b2 )214 (42)2125. 如图，已知点 A(1，0)与点 B(1，0)，C 是圆 x2y 21 上的动点，连结 BC 并延长至 D，使得 CDBC ，求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程解：设动点 P(x，y)，由题意可知 P 是ABD 的重心由 A(1，0)，B(1，0)，令动点 C(x0，y 0)，则 D(2x01， 2y0)，由重心坐标公式得
8、则x 1 1 2x0 13 ，y 2y03， )代入 x2y 21，整理得 y 2 (y0)，故所求轨迹方程为x0 3x 12 ，y0 3y2，y00，) (x 13)2 49y 2 (y0)(x 13)2 496. 已知圆 M 过两点 A(1， 1)，B(1，1)，且圆心 M 在 xy20 上(1) 求圆 M 的方程；(2) 设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA、PB是圆 M 的两条切线，A、B为切点，求四边形 PAMB面积的最小值解：(1) 设圆 M 的方程为(x a)2(yb) 2r 2(r0)，根据题意得 （1 a）2 （ 1 b）2 r2，（ 1 a）2 （1 b）2 r2，
9、a b 2 0. )解得 ab1，r 2.故所求圆 M 的方程为(x1) 2(y1) 24.(2) 由题知，四边形 PAMB的面积为 SS PAM S PBM |AM|PA| |B M|PB|.又|AM|BM| 2，|PA |PB|，所以12 12S2|PA | ，而 |PA| ，即 S2 .因此要求 S 的最小|PM|2 |AM|2 |PM|2 4 |PM|2 4值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM| min 3，所以四边形 PAMB面积的最小值为|31 41 8|32 42S2 2 2 .|PM|2 4 32 4 51. 圆
10、 x2y 24x0 在点 P(1， )处的切线方程为_ 3答案：x y203解析：圆的方程为(x2) 2y 24，圆心坐标为(2，0) ，半径为 2，点 P 在圆上，设切线方程为 y k(x1)，即 kxyk 0，所以 2，解得 k .3 3|2k k 3|k2 1 33所以切线方程为 y (x1)，即 x y20.333 32. 若方程 ax2 ay24(a1)x4y0 表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程解：方程 ax2ay 24(a1)x4y0 表示圆，a0.方程 ax2ay 24(a1)x4y0 可以写成x2y 2 x y0.4（a 1）a 4aD 2E 24F 0
11、 恒成立，16（a2 2a 2）a2a0 时，方程 ax2ay 24(a 1)x 4y0 表示圆设圆的半径为 r，则r2 2 ，4（a2 2a 2）a2 4(1a 12)2 1当 即，a2 时，圆的半径最小，1a 12半径最小的圆的方程为(x1) 2(y1) 22.3. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中，xOy 60，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 xe 1ye 2(其中 e1、e 2分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)，OP 则 P 点斜坐标为 (x，y)(1) 若 P 点斜坐标为(2，2)，求 P 到 O 的距离|PO|；(2) 求以 O 为圆心， 1 为半径
12、的圆在斜坐标系 xOy 中的方程解：(1) P 点斜坐标为(2，2)， 2e 12e 2.OP | |2(2e 1 2e2)288e 1e288cos604.OP | |2，即|OP|2.OP (2) 设圆上动点 M 的斜坐标为 (x，y)，则 xe 1ye 2.OM (xe 1 ye2)2 1.x 2y 22xye 1e21.x 2y 2xy1.故所求方程为 x2y 2xy1.4. 已知圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线 l：x2y 0 的距离为 ，求该圆的方程55解：设圆 P 的圆心为 P(a，b)，半径为 r，则点 P 到 x 轴、 y
13、 轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90，知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 r.2故 2|b| r，得 r22b 2，2又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2，由勾股定理得 r2a 21，得 2b2a 21.又因为 P(a，b)到直线 x2y0 的距离为 ，55得 d ，即有 a2b1，|a 2b|5 55综上所述得 或2b2 a2 1a 2b 1) 2b2 a2 1，a 2b 1，)解得 或 于是 r22b 22.a 1b 1) a 1，b 1.)所求圆的方程是(x1) 2(y 1) 22，或(x1) 2(y 1) 22.5. 已知圆 C：x 2y
14、 29，点 A(5，0)，直线 l：x2y0.(1) 求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程；(2) 在直线 OA 上(O 为坐标原点 )，存在定点 B(不同于点 A)，满足：对于圆 C 上任一点 P，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标PBPA解：(1) 设所求直线方程为 y2xb，即 2xyb0 ， 直线与圆相切， 3，得 b3 ， 所求直线方程为 y2x3 .| b|22 12 5 5(2) (解法 1)假设存在这样的点 B(t，0)，当 P 为圆 C 与 x 轴左交点( 3，0) 时， ；PBPA |t 3|2当 P 为圆 C 与 x 轴右交点(3 ，0) 时， ，
15、PBPA |t 3|8依题意， ，解得，t 5( 舍去)，或 t .|t 3|2 |t 3|8 95下面证明点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为一常数( 95，0) PBPA设 P(x，y)，则 y29x 2， PB2PA2 (x 95)2 y2（x 5）2 y2 x2 185x 8125 9 x2x2 10x 25 9 x2 ， 从而 为常数1825（5x 17）2（5x 17） 925 PBPA 35(解法 2)假设存在这样的点 B(t，0) ，使得 为常数 ，则 PB2 2PA2， (xt)PBPA2y 2 2(x5) 2y 2，将 y29x 2 代入得，x 22xtt 29x 2
16、 2(x210x259x 2)，即2(52 t)x34 2t 290 对 x 3，3恒成立， 解得 或 (舍去) ，52 t 0，342 t2 9 0，) 35，t 95) 1，t 5)所以存在点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为常数 .( 95，0) PBPA 351. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如 u 型的最值问题，可转化为定点 (a，b)与圆上的动点(x，y) 的斜率的最y bx a值问题；(2) 形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3) 形如(x a) 2(y b) 2 型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题请 使 用 课 时 训 练 （A）第 4课 时 （见 活 页 ）.备课札记
