1、圆的有关概念与性质课前热身1.如图，AB 是O 的弦，ODAB 于 D 交O 于 E，则下列说法错误的是（ ） AADBD BACBAOE C DODDEAB2.如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD6cm，则直径 AB 的长是（ ）A B C D23cm32c42cm43cm3如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半径为（ ）A5 B4 C3 D24如图，O 的半径为 5，弦 AB8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ）A2 B3 C4 D55如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E
2、，CDB30,O 的半径为 ，则弦cm3CD 的长为（ ）学优中考网 A B C D3cm23cm23cm9c【参考答案】1. D2. D3. A4. A5. B考点聚焦1圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一2掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点3理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径） 、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴
3、含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.考点链接1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆
4、心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ，90所对的弦是 .典例精析例 1（2009 山西太原）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，若以点 C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长等于（ ）A B5 C D65352BCDA【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD，C90，D 是 AB 中点，AB10，CD AB5，BC5，根据勾股定理得 AC ，故选 A1253例 2（2009 年黑龙江哈尔滨）如图，O
5、的直径 CD10，弦 AB8，ABCD，垂足为 M，则 DM 的长为 【答案】8【解析】主要利用垂径定理求解.连接 OA，根据垂径定理可知 AM4，又 OA5，则根据勾股定理可得：OM3。又 OD5，则 DM8.例 3（2008 年贵州贵阳）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 AB=13，BC=5（1）求 sinBAC 的值；学优中考网 （2）如果 ODAC，垂足为点 D，求 AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积 （精确到 01）【答案】解：（1）AB 是O 的直径，ACB=90sinBAC= 513BCA（2）在 RtABC 中，AC= =1222135BC又ODAC 于
6、点 D，AD= AC=61（3）S 半圆 = （ ） 2= = 2A16948SABC = ACBC= 125=30，S 阴影 =S 半圆 S ABC = 3036.3698点评 “直径所对的圆周角为 90”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来因此对这部分知识应加以重视迎考精练一、选择题1.（2009 年湖北孝感）如图，O 是ABC 的外接圆，已知B60，则CAO 的度数是( )A15 B30 C45 D60 2.（2009 年山东泰安）如图，O 的半径为 1，AB 是O 的一条弦，且 AB ，则弦 AB3所对圆周角的度数为（ ）A.30 B.60 C.30或 150 D
7、.60或 1203.（2009 年浙江嘉兴）如图，P 内含于O，O 的弦 AB 切P 于点 C，且 ABOP若阴影部分的面积为 9，则弦 AB 的长为（ ）A3 B4 C6 D94.（2009 年天津市）如图，ABC 内接于O，若OAB28，则C 的大小为（ ）A28 B56 C60 D625.（2009 年安徽）如图，弦 CD 垂直于O 的直径 AB，垂足为 H，且CD ，BD ，则 AB 的长为（ ）23A2 B3 C4 D56.(2009 年浙江温州)如图，AOB 是0 的圆心角，AOB80，则弧 AB 所对圆周角ACB 的度数是( )A40 B45 C50 D80 7.（2009 年四
8、川遂宁）如图，已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点E，A70 o，C50 o， 那么 sinAEB 的值为( )A. B. C. D. 213223学优中考网 8.（2009 年甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为( )A5 米 B8 米 C7 米 D5 米 39.（2009 年湖北十堰）如图，ABC 内接于O，连结 OA、OB，若ABO25，则C 的度数为（ ）A55 B60 C65 D7010.（2009 年山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此
9、输水管道的直径是（ ） A0.4 米 B0.5 米 C0.8 米 D1 米11.（2009 年山西太原）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿的路径运动一周设 为 ，运动时间为 ，则下列图形能大致地刻画AOBst与 之间关系的是（ ）stPAO BstOsO t Ost OstABCD二、填空题1.（2009 年河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB 到点 P，使 BP AB，PC 切半圆 O12于点 C，点 D 是 上和点 C 不重合的一点，则 的度数为 .AD2.(2009 年广东梅州)如图，在O 中，ACB20，则AOB_度.3.（2009 年山西省）如图所
10、示， A、 B、 C、 D 是圆上的点， 1704A， ， 则 C 度ABCD14.(2009 年湖北鄂州)在O 中，已知O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为 ，弦 AD 长3为 则 DC2_ 5.（2009 年福建福州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上 ，ODAC，若 BD1，则 BC的长为 6.（2009 年广东中山）已知 的直径 为 上的一点， ，O 8cmABC， O 30BAC则 _ BCcm学优中考网 7.(2009 年山东济南)如图， 的半径 弦 点 为弦 上一动点，OA5cm， 8cAB， PAB则点 到圆心 的最短距离是 cm P8.（2009 年北京市）如图，
11、AB 为O 的直径，弦 CDAB，E 为 上一点，若ABCCEA ，则ABD . 28 DA BC E9.(2009 年福建宁德)如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，若ACO32，则COB 的度数等于 三、解答题1.（2009 年广西柳州）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD交 CE 于点 F（1）求证：CFBF；（2）若 AD2 ，O 的半径为 3，求 BC 的长 2.（2009 年广西钦州）已知：如图，O 1与坐标轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，点 O1的纵坐标为 求O 1的半径5 B A O 图 2 xy13.（2009 年湖北宜昌）已
12、知：如图，O 的直径 AD2， ，BAE90ABCDE(1)求CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是多少？ 学优中考网 4.(2009 年湖北黄冈)如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，连结 BC，AC，过点C 作直线 CDAB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交O 于点 F，连结 BF，与直线 CD 交于点 G求证： .BF2【参考答案】选择题1. B2. D3. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10.D11.C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点
13、O 向点 A 运动，OP 逐渐增大，当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画 与 之间关系的是 Cst填空题1. 302. 403. 304. 32或5. 26. 47. 38. 289. 64解答题1. 证明：（1） 连结 AC，如图。C 是弧 BD 的中点 BDCDBC 又BDCBAC在三角形 ABC 中，ACB90，CEAB BCEBAC BCEDBC CFBF 因此，CFBF （2）证法一：作 CGAD 于点 G，学优中考网 C 是弧 BD 的中点 CAGBAC ， 即 AC 是BAD 的角平分线 CECG，AE
14、AG 在 RtBCE 与 RtDCG 中，CECG ， CBCDRtBCERtDCGBEDG AEAB-BEAGAD+DG即 6-BE2+DG 2BE4，即 BE2 又 BCEBAC 212BCEA3（舍去负值） （2）证法二：AB 是O 的直径，CEABBEF 90ADB，在 Rt 与 tFE 中， ，则 BA 即 BFE62， EF3 又 C， 利用勾股定理得： EF22又EBCECA则 CBAE，即则 BA2 EF)6()(2即 F23 2EF 32CB.2.解：过点 O1作 O1CAB，垂足为 C，则有 ACBC B A O 图 2 xy1由 A（1，0） 、B（5，0） ，得 AB4
15、，AC2在 中，O 1的纵坐标为 ，RtC 5O 1C O 1的半径 O1A 3221()C3. 解：（1）AD 为O 的直径，ACDBAE90 ， BACCADDAE ABCDEBACCADDAE 30在 RtACD 中，AD2，CD2sin301， AC2cos30 3S ACD ACCD 13(2) 连 BD，ABD90， BAD 60，BDABCA 30，BABC.作 BFAC，垂足为 F， （5 分）AF AC ，BFAFtan30 ，12312S ABC ACBF ， S ABCD 434学优中考网 S O ，P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 34（2）解法 2：作 CMAD，垂足为 M BCACAD（证明过程见解法） ，BCAD四边形 ABCD 为等腰梯形CMACsin30 ，S ABCD (BC+AD)CM 321234S O ， P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 344. 证明：AB 是O 的直径，ACB90又CDAB 于点 D，BCD90ABCAFBCD F，FBCCBGFBCCBG CBFG 2学 优中 考，网
