1、学优中考网 2011-2012 学年九年级数学（人教版上）同步练习第 22 章第三节 实际问题与一元二次方程一. 教学内容：实际问题与一元二次方程1. 根据实际问题列出一元二次方程，并会求出符合实际问题的解2. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程作为一种数学模型的应用价值二. 知识要点：1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为：审、设、列、解、检验、答（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系（2）设：是指设元，也就是设未知数（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤
2、，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程（4）解：就是解方程，求出未知数的值（5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义（6）答：就是写出答案2. 列一元二次方程解决实际问题的常见题型（1）销售问题；（2）数字问题；（3）面积问题；（4）平均增长（降低）率问题3. 列一元二次方程解实际问题的注意事项（1）要搞清现实生活中的一些数量关系，例如：距离速度时间，工作量工作效率工作时间，溶质重量溶液重量浓度等等（2）还有一些关键词语也要搞清，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等
3、对于“增长率”问题，要注意区分“增”与“减”，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆（3）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去三. 重点难点：本讲的重点是，进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力由于本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点突破难
4、点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系四. 考点分析：有关一元二次方程的内容是中考命题的重点，属必考内容单独考查时多以选择题、填空题等低档题出现，但也经常作为综合题和探究题的一个步骤，还有一个重点题型是列方程解决实际问题【典型例题】例 1. 小明将 1000 元钱存入银行，定期一年后取出 500 元购买学习用品，剩下的 500 元和应得的利率又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出 660 元，求年利率分析：本题属本息问题，第一年：本金1000 元，利率为 x，本息和为 1000（1x）；第二年：本金1000（1x ）500元
5、，利率为 x，本息和为1000（1x）500（1x）660评析：解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设元法，如有关三个连续整数（或连续奇数，连续偶数）的问题，一般设中间一个数为 x，再用含 x 的代数式表示其余两个数例 3. 用一块长方形的铁片，在它的四个角上各自剪去一个边长是 4cm 的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的 2 倍，做成盒子的容积是 1536cm3，求这块铁片的长和宽分析：如图所示，设铁片的宽为 xcm，则长为 2xcm，做成的盒子的底面积就是图中虚线围成的长方形面积：（2x 44）（x 44）cm 2盒子的高应等于小正方形
6、的边长 4cm，盒子的容积可用代数式表示为 4（2x8 ）（x8）cm 3学优中考网 解：设铁片的宽为 xcm，则长为 2xcm根据题意得 4（2x8）（x 8）1536，整理得 x212x1600，解得 x120，x 28（不合题意舍去）当 x20 时，2x 40答：铁片的宽为 20cm，长为 40cm例 4. 植树造林是造福子孙后代的善义之举，某中学师生从 2005 年到 2008 年四年内共植树 1999 棵，已知该校 2005 年植树 344 棵，2006 年植树 500 棵，如果 2006 年到 2008 年的植树棵数的年增长率相同，那么该校 2008 年植树多少棵？分析：此题是平均
7、增长率问题，相等关系是四年植树总和1999，设 2007 年、2008 年两年中植树棵数的年增长率为 x，则 2007 年植树 500（1x）棵，2008 年植树 500（1x） 2 棵解：设该校两年植树棵数的年增长率为 x，根据题意得344500500(1x)500(1x) 21999，解得 x10.110% ，x 23.1（舍去），则 500(110%) 2605答：2008 年植树 605 棵例 5. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，若每件商品售价为 x 元，则每天可卖出（35010x）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，商店要想每天赚 400 元，需要卖
8、出多少件商品，每件商品的售价是多少元？分析：因为每天所赚的利润每件的利润件数，所以根据题意可列出方程，求出每天卖出商品的件数及每件商品的售价解：根据题意，得（x21）（35010x）400解得 x125，x 231x25（元），35010x100（件）答：需要每天卖出 100 件商品，每件商品的售价是 25 元例 6. 如图所示，ABC 中，B90，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从 B 点开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经多长时间，使PBQ 的面积等于 8cm2？分析：S PBQ 0
9、.5BPBQ解：设经 x s 点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 的面积为 8cm2，由题意得（6x）2x8x 26x80解得 x12，x 24因此，经 2s 点 P 在离 A 点 122cm 处，点 Q 在离 B 点 224cm 处，经 4s 点 P 在离 A 点144cm 处，点 Q 在离 B 点 248cm 处，它们都符合要求所以，此问题有两解答：经 2s 或 4s 时PBQ 的面积等于 8cm2【方法总结】1. 列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已
10、知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出方程2. 在日常生活和社会实践中，许多问题都可通过建立一元二次方程这个模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法【预习导学案】（图形的旋转）一. 预习前知1. 将图 1 所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）2. 在 44 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形那么符合条件的小正方形共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二. 预习导学1. 什么样的图形变换叫做旋转，什么叫做旋转中心，什么
11、叫做旋转角？学优中考网 2. 下图中 ABC是ABC 绕着点 O 旋转一定角度后得到的，请你说一说图中有哪些相等的线段，有哪些相等的角，ABC 和 ABC 的形状和大小有什么关系？反思：（1）旋转的性质有哪些？（2）如何根据旋转的性质画出一个图形旋转后的图形？【模拟试题】（答题时间：50 分钟）一. 选择题1. 2008 年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机受金融危机的影响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 a%后售价为 148 元，下面所列方程正确的是（ ）A200（1a%） 2148 B 200（1a% ） 2 148C200（12a%）148 D 2
12、00（1a 2%） 1482. 为了让江西的山更绿、水更清，2008 年省委、省政府提出了确保到 2010 年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标，已知 2008 年江西省森林覆盖率为 60.05%，设从 2008 年起江西省森林覆盖率的年平均增长率为 x，则可列方程（ ）A60.05（12x）63% B60.05（12x）63C60.05（1x ） 263% D 60.05（1x） 2633. 制造一种产品，原来每件成本是 100 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 81 元，则平均每次降低成本（ ）A8.5% B9% C 9.5% D10%4. 某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，
13、绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A19% B20% C 21% D22%*5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本 182 件，若全组有 x 名同学，则根据题意列出方程是（ ）Ax（x1）182 Bx （x1）182C2x（ x1）182 Dx （x1）1822*6. 如果两个连续偶数的积为 288，那么这两个数的和为（ ）A34 B0 C2 D34 或34二. 填空题1. 某商品连续两次降价 10%后价格为 a 元，则该商品原价为_2. 要用一条长 24cm 的铁丝围成一个斜边是 10cm
14、的直角三角形，则两条直角边分别是_，_*3. 某种产品预计两年内成本将下降 36%，则平均每年降低_4. 一个两位数，数字之和是 9，如将个位数字，十位数字对调，与原数相乘的结果是 1458，设十位数字为 x，则列方程为_5. 有 40 米的篱笆在一 25 米长的墙边靠墙围成一面积是 200 平方米的矩形场地，则此矩形场地的长宽分别是_*6. 一次数学测试，满分为 100 分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：两个人的说法都是正确的；至少有一个人错了其中正确的是_（用序号、填写）三. 解答题 1. 有一个两位数，个位数字与
15、十位数字之和为 8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为 1855，求原数*2. 多年以前，周老师曾将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元购物，剩下的1000 元及所得的利息又全部按一年定期存入银行，且存款的利率不变，到期后得本金及利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率*3. 为了检验一批禽流感疫苗对鸡在自然条件下的免疫反应，工作人员在实验室外设立了一块面积为150 平方米的长方形临时鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 35 米，求这个鸡场的长与宽各是多少米？4. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点 O 处甲沿着喀什路以 4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以 3m/s 的速度由南向北走当乙走到 O 点以北 50m 处时，甲恰好到点 O处若两人继续向前行走，求两个人相距 85m 时各自的位置学优中考网 学- 优 中 考( ，网
