1、第二十五讲 根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析 二次根式的性质：二次根式的运算法则：设 a，b，c，d ，m 是有理数，且 m 不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式例 1 化简：法是配方去掉根号，所以因为 x-20 ，1-x0 ，所以原式=2-x+x-1=1a-b-a+b-a+b=
2、b-a说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简例 2 化简：分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁我们可以先将分母因式分解后，再化简解法 1 配方法配方法是要设法找到两个正数 x，y(xy) ，使 x+y=a，xy=b，则解法 2 待定系数法例 4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是 2，可以看成解 设两边平方得得(xyz) 2=5735=352因为 x，y，z 均非负，所以 xyz0，所以xyz=35，有 z=7同理
3、有 x=5，y=1所求 x，y，z 显然满足，所以解 设原式=x，则解法 1 利用(a b) 3a 3b 33ab(ab)来解将方程左端因式分解有(x-4)(x 24x 10)0因为x 2 4x10(x 2) 260，所以 x-40 ，x4 所以原式 4解法 2说明 解法 2 看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法 1 是一般常用的解法例 8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简解 用换元法解 直接代入较繁，观察 x，y 的特征有所以3x 2-5xy3y 23x 26xy3y 2-11xy3(xy) 2-11xy310 2-111289例 11 求分析 本题的关键在于将根号里
4、的乘积化简，不可一味蛮算解 设根号内的式子为 A，注意到 1(2-1) ，及平方差公式(ab)(a-b)a 2-b2，所以A(2-1)(2 1)(2 21)(2 41)(2 2561)1(2 2-1)(221)(2 41)(2 81)(2 2561)1(2 4-1)(241)(2 81)(2 161)(2 2561)1(2 256-1)(22561)12 2256-112 2256，的值分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循解 用构造方程的方法来解设原式为 x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x 4-4x24 2x，所以 x4-4x2-x20观察发现，当 x-1，2 时，方程成立因此，方程左端必有因式(x1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x1)(x-2)(x 2x-1)0解 因为练习七1化简：2计算：3计算：
