1、勾股定理及其逆定理三只钟的故事一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。 ” “天哪！三千两百万次。 ”小钟吃惊不已， “要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。 ”“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑， “如果这样，我就试试吧。 ”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。来源:学优高考网 gkstk例 1：在ABC 中，C=90，AC=
2、2.1cm，BC=2.8cm.（1）求ABC 的面积；（2）求斜边AB；B ACD例 2：在 RtABC 中，BCA=90，CDAB 于 D，A=60，CD= ，求线段 AB的长。3例 3： 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?例 4：如图，南北向 MN为我国领域，即 MN以西为我国领海，以东为公海.上午 9时 50分，我反走私 A艇发现正东方向有一走私艇 C以 13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、 C两艇的距离是 13海里， A、 B两艇的距离是 5海里
3、；反走私艇测得离 C艇的距离是 12海里.若走私艇 C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？EBCAMNA组1已知两条线段的长为 5cm和 12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.B组2下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt的是（ ）A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=53、已知ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 的两个实数根，023)2(2kxkx第三边 BC5。（1） 为何值时，ABC 是以 BC为斜边的直角三角形；k（2） 为何值时，ABC 是等腰三角形，求
4、出此时其中一个三角形的面积。k4.图是一个边长为 的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图()mn和图能验证的式子是（ ）A 22()()4nB nC 22()mD n m nmnmn图 图第 4 题图来源:gkstk.Com5如图 6，已知 AB是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交O于 C，AB3cm，PB4cm，则 BC 6已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积为 7如图，过原点的直线 l与反比例函数1yx的图象交于 M，N 两点，根据图象猜想线段 MN的长的最小值是_8长为 4m的梯子搭在墙上与地面成 45角，作
5、业时调整为 60角（如图所示） ，则梯子的顶端沿墙面升高了 m9如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A开始经过 4个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点 A开始经过 4个侧面缠绕 n圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm BA6cm3cm1cm10、如图所示，四边形 OABC是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ，点 D是线段BC上的动点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D作直线 交折线 OAB于点 Ey2xb（1）记ODE 的面积为 S，求 S与 的函数关系式；b（2）当点 E在线段 OA上时，若
6、矩形 OABC关于直线 DE的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探究 OA1B1C1与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.C D BAEO xyB组1. 以下四个命题正确的是（ ）A来源:学优高考网任意三点可以确定一个圆B 菱形对角线相等C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D 平行四边形的四条边相等2. 如图， O的半径为 3， P是 CB延长线上一点， PO=5， PA切 O于 A点，则 PA= 3. 如果三角形满足一个角是另一个角的 3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（
7、 ）A 1，2，3 B 1，1， C 1，1， D 1，2，4. 如图，已知 AOB=60，点 P在边 OA上， OP=12，点 M， N在边 OB上， PM=PN，若MN=2，则 OM=（ ）A 3 B 4 C 5 D 65. 如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=6， AB BC， AD CD， BAD=60，点 M、 N分别在AB、 AD边上，若 AM： MB=AN： ND=1：2，则 tan MCN=（ ）A B C来源:gkstk.ComD 26. 如图 1，有一个“顽皮虫”想从点 A沿棱长为 1cm的正方体的表面爬到点 B，求它所爬过的最短路程7. 在ABC 中，AB=13cm
8、，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm，求 AC8. 已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边ABC 的高。求 SABC 。 D C B A 9. 判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=1510. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1或图 2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图 1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 1所示摆放，其中 DAB=90，求证： a2+b2=c2来源:学优高
9、考网勾股定理及其逆定理例 1：在ABC 中，C=90，AC=2.1cm，BC=2.8cm.（1）求ABC 的面积；（2）求斜边AB；B ACD解：（1）S ABC = 2112.8.942CBcm（2） cm5.32.18.7.2 例 2：在 RtABC 中，BCA=90，CDAB 于 D，A=60，CD= ，求线段 AB的长。329060132390130BCABCDACA22,()()1x设 则 31ABD分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根
10、据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可解。21例 3： 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?解答 如图，当搅拌棒在 AB位置时最长，过 B画底面直径 BC，则在 RtABC 中，AC15cm， BC428cm根据勾股定理得 cmCAB178522所以可放的最长搅拌棒为 17cm例 4：如图，南北向 MN为我国领域，即 MN以西为我国领海，以东为公海.上午 9时 50分，我反走私 A艇发现正东方向有一走私艇 C以 13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN线上巡逻的我国反
11、走私艇 B.已知 A、 C两艇的距离是 13海里， A、 B两艇的距离是 5海里；反走私艇测得离 C艇的距离是 12海里.若走私艇 C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？EBCAMN分析：为减小思考问题的“跨度” ，可将原问题分解成下述“子问题”：（1） ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇 C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇 C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设 MN交 AC于 E，则 BEC=900.又 AB2+BC2=52+122=169=132=AC2， ABC是直角三角形， ABC=900.又 MN CE，走私艇 C进入我领海的最近距离是 CE，则 C
12、E2+BE2=144， （13- CE） 2+BE2=25，得 26CE=288， CE= . 0.85（小时） ， 0.8560=51（分）.13416949时 50分+51 分=10 时 41分.答：走私艇最早在 10时 41分进入我国领海.1 【答案】13 或 192 【答案】A3、 【答案】 （1）2；（2） 4 或 3，当 4 时，面积为 12。kk4.【答案】B来源:学优高考网 5 【答案】 126 【答案】 97 【答案】 28 【答案】 (3)9 【答案】10， 2916n（或 2364n）10、C D BAEO xy【答案】 （1）由题意得 B（3 ，1） 若直线经过点 A（
13、3，0）时，则 b 32若直线经过点 B（3，1）时，则 b 5若直线经过点 C（0，1）时，则 b11.若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1b ，如图 25-a，32来源:学优高考网 gkstkDE xyC BAO图 2此时 E（2b，0）S OECO 2b1b12若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 b ，如图 2325此时 E（3， ） ，D（2b 2，1）SS 矩 (S OCDS OAE S DBE ) 3 (2b1)1 (52b)( ) 3( )15123b25b 23552bSb（2）如图 3，设 O1A1与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1相交于点
14、N，则矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。来源 :学优高考网图 3HNMC1A1B1O1DE xyC BAO由题意知，DMNE，DNME，四边形 DNEM 为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE ，MDME， 平行四边形 DNEM 为菱形过点 D 作 DHOA，垂足为 H，由题易知，tanDEN ，DH1，HE2，设菱形 DNEM 的边长为 a，则在 RtDHM 中，由勾股定理知： ，22()1a54S 四边形 DNEMNEDH 54矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 B 组1
15、. A 2. 4 3. D 4. C 5. A6. 析解：欲求正方体表面上点 A与点 B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点 A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图 2） ，由“两点之间线段最短”可知， “顽皮虫”在正方体表面上从点 A爬到点 B的最短路程是图 2中线段 AB的长由勾股定理得， （cm） 215A7. 解：BC=10cm，D 是 BC的中点，BD=CD=5cm又 ，即 ，ABD 是直角三角形，即 ADBC223522ABDBACD 也是直角三角形， ，即Ccm13259. 解：（1）因为 ，289645812172所以 ，这个三角形是直角三角形7（2）因
16、为 25,332 所以 ，这个三角形不是直角三角形15410. 证明：连结 DB，过点 D作 BC边上的高 DF，则 DF=EC=bA S 四边形 ADCB=S ACD+S ABC= b2+ aB又 S 四边形 ADCB=S ADB+S DCB= c2+ a（ b a） b2+ ab= c2+ a（ b a） a2+b2=c2请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图 2所示摆放，其中 DAB=90求证： a2+b2=c2证明：连结 过点 B作 DE边上的高 BF，则 BF=b a， S 五边形 ACBED= S ACB+S ABE+S ADE= ab+ b2+ ab， 又 S 五边形 ACBED= S ACB+S ABD+S BDE= ab+ c2+ a（ b a） ， 来源:学优高考网 gkstk ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（ b a） ， a2+b2=c2
