1、图 1点直线与圆的位置关系一.选择题1. （2015吉林长春二模）答案：B 2（2015江苏江阴青阳片期中）如图，已知 A、 B 两点的坐标分别为(2，0) 、(0，1)，C 的圆心坐标为(0，1)，半径为 1若 D 是 C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点E，则ABE 面积的最大值是（ ）A3 B C D4113 1033. （2015山东滕州羊庄中学4 月模拟）如图 1， 的半径为 1，点 到直线 的距离为Om2，点 是直线 上的一个动点， 切 于点 ，则 的最小值PmPBPB是A1 B C 2 D35答案：B；4. （2015山东枣庄二模）如图，P 是 外一点，PA 是 的切线
2、，A 为切点，POO与 相交于 B 点，已知P=28，C 为 上一点，连接 CA，CB，则C 的值为（ O）A28 B62 C31 D56 答案：C5(2015山东东营一模)如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 均在函数 y=（k0，x0）的图象上，A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切若点 B 的坐标为（1，6） ，A 的半径是B的半径的 2 倍，则点 A 的坐标为（ ）A （2，2） B （2，3 ） C （3，2） D （4， ）答案：C6(2015山东济南 网评培训)如图，在平面直角坐标系中， 的O半径为 1，则直线 与 的位置关系是2yxOA相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可
3、能答案：B7(2015江苏无锡崇安区一模 )如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是 的中点，点 D 是 的 AB AC中点，连接 AC、BD 交于点 E，则 DEBE( )图 2A B C1 D15 316答案: D8. （ 2015无 锡 市 新 区 期 中 ） 已知O 的半径为 5，直线 l 上有一点 P 满足 PO=5，则直线l 与O 的位置关系是（ ）A相切 B相离 C相离或相切 D相切或相交答案：D二.填空题1. （2015江苏常州一模）如图，圆心都在 x 轴正半轴上的半圆 ，半圆 ，半圆1O2与直线 相切，设半圆 ，半圆 ，半圆 的半径分别是 ，nOxy31O2n1r， ，则当
4、 时， . 2rn1r205y xO123O第 17 题图答案： 0432. （2015湖南岳阳调研）如图，Rt 中， ， ，ABC904BCcm， 是以 为直径的圆，如果 与 相内切，那么 的半径长为 ACcmeBCOeAe；cm答案： 14.1323（2015山东滕州东沙河中学二模）如图 2，以点 P（2，0）为圆心， 为半径作圆，3点 M（a，b）是P 上的一点，则 的最大值是_ ab答案： ；4. （2015江西省 中等学校招生考试数学模拟） 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0），点 B 为 轴正半轴上一点，点 C 是第一象限内一动点，且 的长始终为y C2，则 的大小
5、的取值范围为 OC答案： 690命题思路：考查圆的定义与圆的切线性质的运用，培养用动态的眼光分析数学问题的能力5. （2015广东中山4 月调研）如图，A B 是 O 的直径，B D， CD 分别是过O 上点 B， C 的切线，且 BDC 110连 接 AC， 则 A 的 度 数 是 答案：35.（2015广东从化一模） 如图 5，半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA，CB 分别切于D，E 两点，直径 FG 在 AB 上，若 BG1，则ABC 的周长为 * 答案： 2686. (2015江苏无锡北塘区 一模)如图，等边ABC 中，AB4，O 为三角形中心，O 的直径为 1，现将O 沿某一方向平
6、移，当它与等边 ABC 的某条边相切时停止平移，记平移的距离为 d ，则 d 的取值范围是 （第 17 题）OCA B答案: d213134三.解答题1. （2015湖南永州三模） （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且，连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 CD=2 ，求O 的半径答案：23 （1）证明：（4 分）连结 OC，如图， ，FAC=BAC （1 分） ，OA= OC， OAC=OCA（1 分） ，FAC=OCA，OCAF（1 分） ，CDAF ，OCCD，CD 是O 的切线
7、（1 分） ；（2）解：（4 分）连结 BC，如图， AB 为直径，ACB=90（1 分） ， ，BOC= 180=60，BAC =30，DAC=30（1 分） ，31在 RtADC 中，CD=2 ， AC =2CD=4 （1 分） ，在 RtACB 中，3BC= AC= 4 =4，AB=2BC=4，O 的半径为 4（1 分） 32. （2015江苏高邮一模）（本题满分 10 分）（1）如图 1，已知O 的半径是 4，ABC内接于O，AC 4 .2求ABC 的度数；已知 AP 是 O 的切线，且 AP=4，连接 PC.判断直线 PC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 2，已知ABCD
8、 的顶点 A、 B、 D 在 O 上，顶点 C 在O 内，延长 BC 交O于点 E，连接 DE.求证：DE=DC解：（1）ABC=45； 3 分直线 PC 与O 相切证明略 3 分（2）证明略 4 分3. （2015江苏江阴3 月月考）如图，已知直线 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直P径,点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE，过 C 作 ，垂足为 D.（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若 DC+DA=6，O 的直径为 10，求 AB 的长度来源#:中教网答案：解：（1）证明：连接 OC，因为点 C 在O 上，OA=OC，所以 .OCA因为 ，所以 ，有 .因为 AC 平分CD
9、PA90 90ADPAE，所以 所以.OA 又因为点 C 在O 上，OC 为O 的半径，所以 CD 为O 的切线. （2）解：过 O 作 ，垂足为 F，所以 ，FAB90CDF所以四边形 OCDF 为矩形，所以 ,.OCFD因为 DC+DA=6，设 ,则Ax6xACBPO图 1AB CDOE图 2因为O 的直径为 10，所以 ，所以5DFOC5AFx在 中，由勾股定理知RtAF 22.A即 化简得 ，22565.x180x解得 或 x=9.由 ，知 ，故 . F5x从而 AD=2， 3.A因为 ，由垂径定理知 F 为 AB 的中点，所以OFB26.ABF4.(2015安徽省蚌埠市经济开发 二摸
10、) 如图，AB 是 的切线，B 为切点，圆心 O 在 ACO:上， ，D 为 的中点 .03A:C（1）求证：ABBC.（2）试判断四边形 BOCD 的形状，并说明理由答案：（1）AB 是 的切线， ， .O:09BA00936OBOBOC， ， ，BC3CABBC. 5 分（2）四边形 BOCD 为菱形，理由如下： 6 分 中连接 OD 交 BC 于点 M，D 是 的中点，OD 垂直平分 BC.:BC在 中， ，OC2OMODRtO03OM OD，四边形 BOCD 为菱形. 10 分5. (2015合肥市蜀山区调研试卷 )已 知 ， 如 图 ， 直 线 MN 交 O 于 A,B 两 点 ，
11、AC 是 O 的 直 径 ，DE 切 O 于 点 D， 且 DE MN 于 点 E.（1）求证：AD 平分CAM. （2）若 DE=6，AE=3,求O 的半径.第 21 题图COBADEM N答案：解：（1）连接 OD，DE 与O 相切于 DOD DE 又DEMNODMN2 分ODA =DAE .又OD=OAODA=OAD .OAD=DAE.4 分AD 平分CAM.5 分（2）DE=6，AE=3AD= 26357 分AC 是O 的直径 ADC=90ADC=DEA又OAD =DAE .ADE ACD 10 分 ADEC22(35)1AO 的半径为7.512 分6. 2015广东广州一模） .如图
12、 M1-10，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为直径，点 E在 AB 上，过点 E 作 EFBC，点 G 在 FE 的延长线上，且 GAGE.(1)求证：AG 与 O 相切；(2)若 AC6，AB8，BE3，求线段 OE 的长答案：(1)证明：如图 124，图 124来连接 OA，OAOB ，GAGE，ABOBAO ，GEAGAE.EFBC， BFE90.ABOBEF90.又BEFGEA，GAEBEF.BAO GAE 90.OA AG，即 AG 与O 相切(2)解：BC 为直径，BAC90.AC6，AB8，BC10.EBF CBA，BFE BAC，BEFBCA .图 3图 4 .EF 1.8
13、， BF2.4，OF OBBF52.42.6.OE BFBA BEBC EFCA .EF2 OF2 107. （2015广东高要市一模）如图，点 B、C、D 都在半径为 6 的O 上，过点 C 作ACBD 交 OB 的延长线于点 A，连接 CD，已知CDB=OBD =30（1）求证：AC 是O 的切线；（2）求弦 BD 的长；（1）证明：连接 OC，OC 交 BD 于 E，CDB=30 ，COB=2CDB=60，2CDB=OBD，CDAB，又ACBD，四边形 ABDC 为平行四边形，A=D=30，OCA=180ACOB=90，即 OCAC4又OC 是O 的半径，AC 是O 的切线；5（2）解：
14、由（1）知，OCAC ACBD，OCBD， BE=DE，6在直角BEO 中，OBD=30，OB=6 ，BE =OBcos30=3 ，8BD=2BE =6 ；98. （2015山东滕州东沙河中学二模）如图 3，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与 AD，AC 分别交于点 E，F，且ACB=DCE（1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tanACB= ，BC=2，求O 的半径2答案：解：（1）相切；（2） ；469. （2015山东滕州东沙河中学二模）如图 4，在 ABCD 中，AB=12 cm，AD =6 cm，BAD=60，
15、点 P 从点 A 出发，以 2 cms 的速度沿 ABC 运动，点 Q 从点 A 出发，以 a cms 的速度沿 ADC 运动，点 P，Q 从 A 点同时出发，当其中一点到达点 C 时，另一点也停止运动，设运动的时间为 t s图 5图 6（1）求证：BDAD；（2）若 a=1，以点 P 为圆心，PB 为半径画P，以点 Q 为圆心，QD 为半径画Q，当P 和Q 相切时，求 t 的所有可能值；（3）若在点 P，Q 运动的过程中总存在 t，使 PQBD，试求 a 的值或范围答案：解：（1）略（2）93 3 3 9（3）1a2 10. （2015山东滕州羊庄中学4 月模拟）如图，已知点 在 的边 上，
16、 ，EABC90的平分线交 于点 ，且 在以 为直径的BACDA上O（1）证明： 是 的切线；O（2）若 ，求圆心 到 AD 的距离；6,4（3）若 ，求 的值32DACtanBE答案：（ 本 题 满 分 10 分 ）（1）连接 OD，AD 平分BAC，BAD=DAC， OA=OD， BAD=ODA，ODA=DAC，ACOD，C=90， ODC=90，即 BC 是O 的切线。 4 分（2）在 RtADC 中， ACD90，由勾股定理，得： 1324622DA作 根据垂径定理得,F中ADF可证 AOFADC ACDO6134 3 分132F（3）连接 EDAD 平分BAC，BAD=DAC，AE
17、为直径，ADE=90 32DACtanEAtanEDRt 中 又90,90,B90,ADC图 7 ,又 ,EDBACEDBBEDBDA, 3 分3211. 2015山东滕州张汪中学质量检测二）如图 7，AB 是O 的直径，经过圆上点 D 的直线CD 恰使ADC= B （1）求证：直线 CD 是O 的切线；（2）过点 A 作直线 AB 的垂线交 BD 的延长线于点 E，且 AB= ，BD=2，求 SABE 的面5积答案：解:（1）连接 D ODB ，B ODB 2 分 ADC=B（已知）， ODB =ADC 4 分 ODB + ADO =ADC+ ADO即 AD CO 5 分 B是直径 90 =
18、90CD 切O 于点 D6 分（2）在 RTADB 和 RTEAB 中 B B RTADB: RTEAB AB =BD BE 即 BE=2A= 5 = 8 分在 RTABE 中： AE = 2BE= SABE= = 54 10 分A2112. （2015山东滕州张汪中学质量检测二）如图 8，已知ABC 内接于O，点 D 在 OC 的延长线上，ABCCAD（1）若ABC20，则OCA 的度数为 ；（2）判断直线 AD 与O 的位置关系，并说明理由；来（3）若 ODAB，BC5， AB8，求O 的半径图 9答案：解：（1）70（2）相切 2 分理由如下：法一：连接 OA， ABC 21AOC3 分
19、在等腰AOC 中，OAC90 AOC， OAC90ABC 5 分ABCCAD，OADOAC CAD90 ABCABC906 分即 OAAD，而点 A 在O 上， 直线 AD 与O 相切8 分法二：连接 OA，并延长 AO 与 O 相交于点 E，连接 ECAE 是O 的直径，ECA90，4 分来EACAEC90 又ABCAEC，ABC CAD，EAC CAD906 分即 OAAD，而点 A 在O 上， 直线 AD 与O 相切8 分（3）设 OD 与 AB 的交点为点 GODAB，AGGB4ACBC 5，在 RtACG 中，可得 GC310 分在 RtOGA 中，设 OAx ，由 OA2OG 2A
20、G 2，得 x2（x3） 24 2解得 x 625，即O 的半径为 6 12 分13. （2015山东潍坊第二学期期中）如图 9，已知点 A（3，0），以 A 为圆心作A 与 y 轴切于原点，与 x 轴的另一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l.（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作A 的切线 DE，E 为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当 BFD 与 EAD 相似时，求出 BF 的长 答案：（12 分）解：（1）设抛物线的解析式为 ，2(6)yaxk抛物线经过点 A
21、（3，0）和 C（0，9） 936ak解得： ,1,321(6)3yxy= （4 分）932x（2）连接 AE,DE 是A 的切线，AED=90，AE=3 来源直线 l 是抛物线的对称轴，点 A，D 是抛物线与 x 轴的交点，AB=BD=3 来源:中图 11AD=6，在 RtADE 中， ， （8 分）222637DEA3DE（3）当 BFD 时，AED=BFD=90，ADE=BDF，AEDBFD ，即 ， （10 分）AEBF3632BF当 FBAD 时，AED=FBD=90，ADE=FDB ， AEDFBD ，即 ，BF 的长为 或 .（12 分）D3314. （2015 山东潍坊广文中学
22、、文华国际学校一模）如图 10，点 A、B、C 分别是O 上的点，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，AP=AC（1）若ABC =60求证：AP 是O 的切线；来（2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD=4，求 BEAB 的值答案：（1）如图 11，证明：连接 AD，OAADC=ABC，ABC=60， ADC=60，CD 是直径，DAC=90，ACO=180-90-60=30，-2 分AP=AC，OA=OC，OAC=ACD=30，P=ACD=30，OAP=180-30-30-30=90，即 OAAP， -4 分OA 为半径，AP 是O 切线 -5 分（2
23、）解：连接 BDCD 是直径， DBC=90，CD=4，B 为弧 CD 中点， BD =BC=4sin45= ， -6 分2BDC=BCD=45， DAB=DCB=45，即BDE=DAB， -7 分DBE=DBA ，DBEABD， -8 分BD :BE =AB : BD ，-9 分 中BEAB=BDBD =( )2 =8-10 分15. 2015邗江区初三适应性训练） 如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是直径，作ODBC 与过点 A 的切线交于点 D，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AE=6，CE= ,求线段 CE、BE 与劣弧 BC
24、所围成的图形面积.（结果保留根号和32）答案：解：（1）连结 OC，证得AOD= COD ； 证得AODCOD（SAS）； 证得OCD=OAD =90； 则 DE 是O 的切线. （2）设半径为 r，在 RtOCE 中，OC 2+CE2=OE22236r，解得 0,tanCE32COBS扇 形所求图形面积为 32COBES扇 形16. （2015网上阅卷适应性测试）如图,在ABCD 中,过 A、C、D 三点的O 交 AB 于点 E,连接 DE、 CECDEBCE （1）求证：ADCE；（2）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（3）若 BC3，DE6，求 BE 的长答案：（1）ABC
25、D 中 ABCD，AEDEDC ， AD CEADCE（2）直线 BC 与O 相切如图，作直径 CF，连接 EF于是，EFCEDC BCECDEEFC BCECF 是 O 的直径，FEC 90 ，EFCFCE90 BCEFCE 90BCF90 OC CB直线 BC 经过O 半径 OD 外端 D，且与半径垂直， 第 3 题直线 BC 与O 相切（3）ABCD ADBC， ABCD，由（1）ADCE BCCEAB CDEFABCD，BEC DCE又BCECDE，BCEEDC ，BCDE BECEBC3 CE=3即 36 BE3解得，BE 3217. （2015江西省中等学校招生考试数学模拟）如图，
26、AB=AC=8，BAC =90，直线与以为直径的O 相切于点 ，点 是直线上任意一动点，连结 DA 交O 点 ABBDE（1）当点 在 上方且 时，求 AE 的长；D6（2）当点 在什么位置时， 恰好与O 相切？请说明理由；CE解：（1）如图，连接 BE， 直线与以 为直径的O 相切于点 ，ABB， ， ，AB=8，BDAE6D， ， ；108.44.（2）当点 D 在 AB 上方且 DB=4 时， 恰好与O 相切；理由如下：CE连接 OE， BAC=AEB=90， CAE+BAE= 90，ABE+ BAE=90 ， CAE=ABE，又 ， ，2184CAOB2184tanABDE ， CEA
27、 =OEBE又AEB= 90， OEC=90， 此时 与O 相切C命题思路：考查直径所对圆周角的特征、圆的切线的判定方法的理解运用18. （2015江西赣三中20142015 学年第二学期中考模拟）如图， ABC 内接于O，AB 是直径， O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF BC， 交 AC 于点 E，交PC 于点 F，连接 AF.（1）求证：AF 是O 的切线；（2）已知O 的半径为 4， AF=3，求线段 AC 的长 答案：（ 1）证明： 连接O C， AB 是O 直径， BCA=90OFBC AEO=90 ， 第 5 题OFAC，OC=OA，COF=AOF，O CFO A
28、F第 4 题第 4 题 OAF=OCFPC是切线 OCF =90， FAOA ，AF是O的切线 （2）O的半径为4，AF=3 ，FAOA ，OF= = =52OFA+234FAOA ，OFAC，AFOA = OFEA ，34= 5EA ，解得 AE= ， AC=2AE= .1254519. 2015山东省东营区实验学校一模）如图，已知 BC 是以 AB 为直径的的切线，且BC=AB，连接 OC 交 O 于点 D，延长 AD 交 BC 于点 E， F 为 BE 上一点，且 DF=FB（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 BE=2，求O 的半径（1）证明：连接 BD，BC 是O 的切线，AB
29、是直径，ABBC，BFD+OBD=90 ，DF= FB，FDB=FBD ，OD= OB，ODB =OBD，FDB+ODB=FBD+ OBD=90，ODDF ，DF 是圆的切线；（2）解：AB 是圆的直径，ADB=90，FDB+FDE=FBD+FED=90，FDB=FBD ，FDE=FED ，FD= FE=FB，在直角OBC 中，tanC= = =，在直角CDF 中，tanC= ， =，DF=1，CD=2，在直角CDF 中，由勾股定理可得：CF = ，OB= BC= ，O 的半径是 来 源#:中教BEDA（2）若 OE 与 BD 交于点 M,OC 平分 BOE,连接 CM.说明:CM 为O 的切
30、线;（3）在（2）的条件下,若 BC=1,求 tanBCO 的值答 案 ： 25 （本题满分 9 分）（1）EBOB，BOE=45，E=BOE，OB=BE， 在 RtOAD 中，sinAOD= OD=OB=BE， = BEDA（2）OC 平分BOC，BOC=MOC ，BOCMOC（SAS ），CMO=OBC=90，又CM 过半径 OM 的外端， 中国#教* 育出版&网CM 为O 的切线；（3）由（1）（2）证明知E=45，OB= BE，BOC MOC，CMME，CMOE，E=45，MCE= E=45，CM= ME， 又BOCMOC， MC=BC，BC =MC=ME=1， MC=ME=1，在 R
31、tMCE 中，根据勾股定理，得 CE= 2OB=BE= +1, tanBCO= +12 230. （ 2015无 锡 市 宜 兴 市 洑东中学 一 模 ） 已知：如图，在ABC 中，AB=AC ,AE 是角平分线，BM 平分 ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰DMECBO A为 O 的直径 .（1）求证：AE 与O 相切；（2）当 BC=4， cosC= 时，求O 的半径.31答案：解：(1) 连接 OM，则 OMOBOBM=OMBBM 平分 ABCOBM=OMB=EBMOMBEAMO=AEB而在 ABC 中，AB=AC,AE
32、是角平分线AEBCAMO=AEB=90AE 与O 相切. - 3 分(2) 在ABC 中， AB=AC,AE 是角平分线BE= BC=2,ABC=ACB12在 RtABC 中 cosABC=cosACB= =2AB13AB=6 -6 分设O 的半径为 r,则 AO=6-rOMBCAOMABE来 = OMBEAOAB即 =r26-r6r=3231. （ 2015锡 山 区 期 中 ） （本题满分 8 分）已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 中 AD 边上的一动点，连结 BE，作BEG=BEA 交 CD 于 G，再以 B 为圆心作 ，连结 BGAC （1）求证：EG 与 相切AC （2）求EB
33、G 的度数；GB CA DE答 案 ： （1）证明：过点 B 作 BFEG，垂足为 F，BFE=90四边形 ABCD 是正方形A=90，BFE=A， （1 分）BEG=BEA，BE =BE， ABEFBE， （2 分）BF=BA， （3 分）BA 为的半径，BF 为的半径，EG 与相切； （4 分）（2）解：由（1）可得ABEFBE1=ABE=Error!ABF， （5 分）四边形 ABCD 是正方形，C=ABC=90，CD 是O 切线，由（1）可得 EG 与相切，GF=GC， BFEG，BCCD ，2=CBG=Error!FBC， （7 分）EBG=1+2=Error!(ABF+FBC)= Error!ABC=45 （8 分）
