1、第 13 讲 二次函数的图象和性质一、选择题(每小题 6 分，共 30 分)1(2015天水)二次函数 yax 2bx1(a0)的图象经过点(1，1) ，则 ab1 的值是( D )A3 B1 C2 D32(2015临沂)要将抛物线 yx 22x3 平移后得到抛物线 yx 2，下列平移方法正确的是( D )A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位3(2015柳州)如图，二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交于( 2，0)和(4，0) 两点，当
2、函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是( B )Ax2 B2x4Cx0 Dx44(2015南昌)已知抛物线 yax 2bxc(a0)过(2， 0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( D )A只能是 x1B可能是 y 轴C在 y 轴右侧且在直线 x 2 的左侧D在 y 轴左侧且在直线 x 2 的右侧,第 3 题图) ,第 5 题图)5(2015烟台)如图，已知顶点为(3，6) 的抛物线 yax 2bxc 经过点(1，4) ，则下列结论中错误的是( C )Ab 24abBax 2 bxc6C若点(2，m)，(5，n)在抛物线上，则 mnD关于 x 的一元二次方程 ax2bxc4 的两根为5
3、 和1二、填空题(每小题 6 分，共 30 分)6(2015怀化)二次函数 yx 22x 的顶点坐标为_(1， 1) _，对称轴是直线_x1_7(2015杭州)函数 yx 22x1，当 y0 时，x_1_；当 1x2 时，y 随 x 的增大而_增大_(填写“增大” 或“减小”) 8(2015上海)如果将抛物线 yx 22x1 向上平移，使它经过点 A(0，3) ，那么所得新抛物线的表达式是_yx 22x3_9(2015宿迁)当 xm 或 xn(mn) 时，代数式 x22x3 的值相等，则 xmn 时，代数式 x22x3 的值为_3_10(2015岳阳)如图，已知抛物线 yax 2bxc 与 x
4、 轴交于 A，B 两点，顶点 C 的纵坐标为2，现将抛物线向右平移 2 个单位，得到抛物线 ya 1x2b 1xc 1，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号 )b0；abc 0；阴影部分的面积为 4；若 c 1，则 b24a.三、解答题(共 40 分)11(10 分)(2015 珠海)已知抛物线 yax 2bx3 的对称轴是直线 x1.(1)求证：2ab0；(2)若关于 x 的方程 ax2bx80 的一个根为 4，求方程的另一个根解：(1)证明：对称轴是直线 x1 ，2ab0 (2)解：ax 2bx80 的一个b2a根为 4，16a4b80，2ab0，b2a ， 16a8a 80，解得
5、：a1，则b2，ax 2bx80 为：x 22x80，则(x4)(x2)0，解得：x14，x 22，故方程的另一个根为：212(10 分)(2015 齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴，抛物线 y x2bxc 经过 B，C 两点，点 D 为抛物12线的顶点，连接 AC，BD，CD.(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积解：(1)由已知得：C(0，4)， B(4，4)，把 B 与 C 坐标代入 y x2bxc 得：12解得：b2， c4，则解析式为 y x22x44b c 1
6、2，c 4， ) 12(2)y x22x4 (x2) 26，抛物线顶点坐标为(2，6) ，则 S 四边形 ABDCS 12 12ABCS BCD 44 42841212 1213(2015山西百校联考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中 ，抛物线 y x2xc 与 x 轴14交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(0， 3)D 是抛物线的顶点(1)求出点 A 和点 D 的坐标；(2)若点 P 为第二象限内抛物线上一点连接 AC，过点 P 作 PHAC 于点 H，则当 PH时 ，求点 P 的坐标；455解：(1)将点 C(0，3)代入 y x2xc 中，得 c3，抛物
7、线的关系式为14y x2x3，当 y0 时，得 x2x30，解得 x16，x 22，点 A 在点 B 左14 14侧，点 A 为(6，0)，y x2x3 (x2) 2 4，点 D 坐标为(2，4)14 14(2)如图，连接 AP，PC，过点 P 作 PKx 轴于点 K，点 P 为第二象限内的点，且在抛物线上，设点 P 坐标为(m， m2m 3) ，则14KOm，PK m2m 3，AKAOKO6m，在 RtAOC 中，AC14 3 ，S APC S 四边形 AOCPS AOC S AKP S 梯形 PKOCS AO2 OC2 62 32 5AOC AKPK (COPK)KO AOCO (6m)(
8、 m2m3) (3 m2m3)12 12 12 12 14 12 14(m) 63 m2 m，当 PH 时，S 12 34 92 455APC ACPH， m2 m 3 ，解得 m14，m 22，当 m14 时，12 34 92 12 5 455 m2m33；当 m22 时， m2m 34， 当 PH 时，点 P 坐标为14 14 455(4，3)或(2，4)14(10 分)(2015 岳阳)如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0) ，C(0，3)三点(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在，求出四边
9、形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得 解得 所以，抛物线的解析式为a b c 0，16 4b c 0，c 3， ) a 34，b 154，c 3 )y x2 x334 154(2)A，B 关于对称轴对称 ， 如图，连接 BC，BC 与对称轴的交点即为所求的点 P，此时 PAPCBC，四边形 PAOC 的周长最小值为：OCOA BC ，A(1 ，0)，B(4，0)，C(0，3)，OA1，OC3，BC 5，OCOABC1359；在抛物线的OB2 OC2对称轴上存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 915(2014孝感)已知关于
10、 x 的方程 x2(2k3)x k 210 有两个不相等的实数根 x1，x 2.(1)求 k 的取值范围；(2)试说明 x10，x 20；(3)若抛物线 yx 2(2k3)xk 21 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，点 B 到原点的距离分别为 OA，OB，且 OAOB2OAOB3，求 k 的值解：(1)由题意可知： (2k3) 24(k 21)0，即12k50，k512(2) x 10，x 20x1 x2 2k 3 0，x1x2 k2 1 0， )(3)依题意，不妨设 A(x1，0)，B(x 2，0)OAOB|x 1|x 2|(x 1x 2)(2k3) ，OAOB|x 1|x2|x 1x2k 21，OAOB2OAOB3，(2k3) 2(k 21)3，解得 k11，k 22. k ，k2512
