1、3.4 基本不等式： (一)aba b2自主学习知识梳理1如果 a，bR ，那么 a2b 2_2ab(当且仅当_时取“”号)2若 a，b 都为_数，那么 _ (当且仅当 a_b 时，等号成a b2 ab立)，称上述不等式为_ 不等式，其中_称为 a，b 的算术平均数，_称为 a，b 的几何平均数3基本不等式的常用推论(1)ab 2 (a，bR)；(a b2 ) a2 b22(2)当 x0 时，x _；1x当 x0 时， _ ；ba ab当 ab0，b0 时， 这是一条重要的基本不等式链，请你21a 1b ab a b2 a2 b22给出证明对点讲练知识点一 利用基本不等式比较大小例 1 已知正
2、数 0bc，nM 且 ，求 n 的最大值1a b 1b c na c总结 解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围变式训练 3 已知不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最(1x ay)小值为( )A8 B6 C4 D21设 a，b 是两个正实数，用 min(a，b) 表示 a，b 中的较小的数，用 max(a，b) 表示a，b 中的较大的数，则有 min(a，b) max(a，b) 当且21a 1b ab a b2 a2 b22仅当 ab 时，取到等号2两个不等式 a2b 22ab 与 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当a b2 ab时，取号”这句
3、话的含义要有正确的理解一方面：当 ab 时， ；另一方面：当 时，也有 aa b2 ab a b2 abb. 课时作业一、选择题1已知 a0，b0 ，则 ， ， ， 中最小的是( )a b2 ab a2 b22 2aba bA. B. C. D.a b2 ab a2 b22 2aba b2已知 ma (a2)，n (x n Bmy0，xy1，求证： 2 .x2 y2x y 23.4 基本不等式： (一)aba b2知识梳理1 ab2正 基本 a b2 ab3(2)2 2 (3)2 2 (4)自主探究1. 重合 ababa b22证明 由于 成立，aba b2只须证明 和 成立即可ab21a 1
4、b a2 b22 a b2 ab21a 1b ab 2aba b a b ab 2aba b 0aba b 2aba b ab a b2a b ，即 .ab21a 1b21a 1b ab 2 2 (a2 b22 ) (a b2 ) a2 b22 a b24 2a2 b2 a b24 a2 b2 2ab4 0.a b24 ，即 .a2 b22 a b2 a b2 a2 b22所以 .21a 1b ab a b2 a2 b22对点讲练例 1 D 因为 a、b(0,1)，ab，所以 ab2 ，a 2b 22ab，所以，最大的只能ab是 a2b 2 与 ab 之一而 a2b 2(ab) a(a1)b(
5、b 1) ，又 0 0，a2 b22 a b2 ，a2 b22 12a 2b 2 .12b(a 2b 2)(bb 2)a 2b(1b) a 2ab a 2a(ba)0，ba 2b 2，b 最大例 2 证明 a、b、c 都是正数， 、 、 也都是正数bca cab abc 2c， 2a， 2b，bca cab cab abc bca abc三式相加得 2 2(abc)，(bca cab abc)即 a bc.bca cab abc变式训练 2 证明 2 2 ， 2 2 ， 2 21a 1b 1ab c 1b 1c 1bc a 1c 1a 1ac b2 2( )，(1a 1b 1c) a b c即
6、 .1a 1b 1c a b ca，b，c 不全相等， bc.1a b 1b c na cn a ca b a cb c a c2a bb c对 a、b、c 上式都成立，n mina c2a bb c 4.a c2a bb c a c2a b b c2 2n4，n 的最大值为 4.方法二 abc， a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c2 224.b ca b a bb cn4，n 的最大值为 4.变式训练 3 C 只需求(x y) 的最小值大于等于 9 即可，(1x ay)又(xy) 1a a a12 a2 1，等号成立仅当 a 即(1x ay) xy yx
7、axyyx a xy yx可，所以( )2 2 19，a a即( )2 2 80 求得 2 或 4( 舍去)，所以 a4，即 a 的最小值为 4.a a a a课时作业1D 方法一 特殊值法令 a4，b2，则 3， ，a b2 ab 8 ， . 最小a2 b22 10 2aba b 83 2aba b方法二 ，由 .可知 最小2aba b 21a 1b 21a 1b ab a b2 a2 b22 2aba b2A m(a2) 22 24，n22x 2n.1a 2 a 2 1a 23B ab 2，ab，ab 1，a2 b22 a b2 1，ab1 .a2 b22 a2 b224B x 2ax10
8、 在 x 上恒成立(0，12axx 21a max (x 1x)x 2， 2，a2.1x (x 1x)5A ab2 ，ab 24，当且仅当 ab2 时取等号ab (a b2 )cd2 ，c d2 4，当且仅当 cd2 时取等号cd cd故 cdab，当且仅当 ab cd2 时取等号62解析 lg xlg y1，xy10， 2.2x 5y 2x x27大 1解析 a1，a 10， (1 a) 2，(a 1 1a 1) 11 aa1 2，a 1.1a 1 1a 18. 2解析 由已知 a max，(x yx y) 成立， x y2 x y2 x y 2 x y max ，a .(x yx y) 2 29证明 a 2b 22ab b2c 22bcc2a 22aca2b 2c 2a 2b 2c 2由得：3(a2b 2c 2) a2b 2c 22ab2bc 2ac3(a2b 2c 2) (abc) 2即 a2b 2c 2 .a b c2310证明 xy1 x2 y2x y x y2 2xyx y x y2 2x y(xy) 2 2 .2x y x y 2x y 2当且仅当Error!，即Error! 时取等号
