1、2.5 等比数列的前 n 项和 (二)自主学习知识梳理1等比数列a n的前 n 项和为 Sn，当公比 q1 时，Sn_；当 q1 时，S n_.2等比数列前 n 项和的性质：(1)连续 m 项的和 (如 Sm、S 2mS m、S 3mS 2m)，仍构成_数列(注意：q1或 m 为奇数)(2)Smn S mq mSn(q 为数列 an的公比)(3)若a n是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则 _.S偶S奇3若a n是等比数列，且公比 q1，则前 n 项和 Sn (1q n)A( qn1)其中a11 qA_.4解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型自主探究
2、利用等比数列前 n 项公式证明 ana n1 ba n2 b2b n ，其中an 1 bn 1a bnN *a，b 是不为 0 的常数，且 ab.对点讲练知识点一 等比数列前 n 项和的证明问题例 1 设a n是由正数组成的等比数列，S n是其前 n 项和，证明：log0.5Sn1 .log0.5Sn log0.5Sn 22总结 本题关键是证明 SnSn2 0 且 c1) ，那么数列c n是等比数列，公比 q cd.(2)一般地，如果a n是各项为正数的等比数列，公比为 q，且 cnlog aan(a0 且 a1)，那么数列c n为等差数列，公差 dlog aq.变式训练 3 在等比数列a n
3、中，a n0 (nN *)，公比 q(0,1) ，且a1a52a 3a5a 2a825，又 a3 与 a5 的等比中项为 2.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bnlog 2 an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，当 最大时，求 n 的值S11 S22 Snn1深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组) 求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处3利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模
4、型要确定 a1 与项数 n 的实际含义，同时要搞清是求 an还是求 Sn的问题. 课时作业一、选择题1某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为( )A1.1 4a B1.1 5aC10(1.1 51)a D11(1.1 51)a2已知数列a n的前 n 项和 Sn2 n1，则 a a a 等于( )21 2 2nA(2 n1) 2 B. (2n1) 212C4 n1 D. (4n1)133一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A300 米
5、 B299 米 C199 米 D166 米4若等比数列a n的公比 q0，且 q1，又 a1a3 a5 Ba 2a 60，q0 ，当 q1 时，S nna 1，从而 SnSn2 S 2n 1na 1(n2) a1(n1) 2a a log0.5S .2n 1即 log0.5Sn1 .log0.5Sn log0.5Sn 22变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q，首项为 a1，当 q1 时，S nna 1，S 2n2na 1，S 3n3na 1，S S n 2a 4n 2a 5n 2a ，2n 2n 21 21 21Sn(S2nS 3n)na 1(2na13na 1)5n 2a ，
6、21S S S n(S2nS 3n)2n 2n当 q1 时，则 Sn (1 qn)，a11 qS2n (1q 2n)，S 3n (1q 3n)，a11 q a11 qS S 2(1q n)2(1q 2n)22n 2n (a11 q) 2(1q n)2(22q nq 2n)(a11 q)又 Sn(S2nS 3n) 2(1q n)2(22q nq 2n)，(a11 q)S S S n(S2nS 3n)2n 2n方法二 根据等比数列性质，有 S2nS nq nSnS n(1q n)，S3nS nq nSnq 2nSn，S S S S n(1q n)2S (22q nq 2n)，2n 2n 2n 2n
7、Sn(S2nS 3n)S (22q nq 2n)2nS S S n(S2nS 3n)2n 2n例 2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1a，公比q110% 0.9，a na0.9 n1 (n1) (2)10 年的出口总量 S10a1 0.9101 0.910a(10.9 10)S 1080，10a(10.9 10)80，即 a ，81 0.910a12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨变式训练 2 解 用 an表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an1 an，45因此，数列a n是首项 a125，公比 q 的等比数列45热气球在前 n 分钟内上升的总
8、高度为：Sna 1a 2a na11 qn1 q 125 0，a 3a 55.又 a3 与 a5 的等比中项为 2，a 3a54，而 q(0,1)，a 3a5，a 3 4，a 51.q ，a 116，a n16 n1 2 5n .12 (12)(2)bnlog 2 an5n，b n1 b n1，b n是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，S n ， ，n9 n2 Snn 9 n2当 n8 时， 0；当 n9 时， 0；Snn Snn当 n9 时， 0 且 q1，q 2q10 ，a 1q(q1) 2(q2q1)1，解得 n9.(12)即 a1a2a91a10a11.当 n9 时，C n最大
9、9证明 设a n、b n的公比分别为 p、q，p0，q0，pq，c na nb n.要证c n不是等比数列，只需证 c22c 1c3 成立即可事实上，c22( a1pb 1q)2a 21p2b21q 22a 1b1pq，c1c3(a 1b 1)(a1p2b 1q2)a21p 2b21q 2a 1b1(p2q 2)由于 c1c3c22 a 1b1(pq) 20，因此 c22c 1c3，故c n不是等比数列10解 (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800 万元，(1 15)第 n 年投入为 800 n1 万元(1 15)所以 n 年内总投入为：an800800 800 n1(1 15
10、) (1 15)800 1 45 (45)n 14 000 .1 (45)n第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400 万元，第 n 年旅(1 14)游业收入为 400 n1 万元，所以 n 年内的旅游业总收入为：(1 14)bn400400 400 n1(1 14) (1 14)400 1 54 (54)n 11 600 .(54)n 1(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则 bna n0，即 1 600 4 000 0，(54)n 1 1 (45)n化简得：2 n5 n70 ，(54) (45)设 x n，则 5x27x20，(45)解得 x1，25n1，x n1(舍去)，(45)即 n ，由此得 n5.(45) 25至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入
