1、课时训练 13 等比数列的前 n 项和一、等比数列前 n 项和公式的应用1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项的和等于( )A.31 B.33 C.35 D.37答案:B解析: S5=1, =1,即 a1= . S10= =33.2.设首项为 1,公比为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,则 ( )A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an答案:D解析:S n= =3-2an,故选 D.3.(2015 福建厦门高二期末,7)设 Sn 为等比数列a n的前 n 项和,若 27a2-a5=0,则 等于( )A.-27 B
2、.10 C.27 D.80答案:B解析:设等比数列a n的公比为 q,则 27a2-a2q3=0,解得 q=3, =1+q2=10.故选 B.4.(2015 课标全国 高考,文 13)在数列a n中,a 1=2,an+1=2an,Sn 为a n的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= .答案:6解析: an+1=2an,即 =2, an是以 2 为公比的等比数列.又 a1=2, Sn= =126. 2n=64, n=6.5.设数列a n是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 答案:15解析:由数列a n首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n-
3、1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前 n 项和性质的应用6.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为( )A.180 B.108 C.75 D.63答案:D解析:由性质可得 S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列,故( S14-S7)2=S7(S21-S14).又 S7=48,S14=60, S21=63.7.已知数列a n,an=2n,则 + = . 答案:1-解析:由题意得:数列a n为首项是 2,公比为 2 的等比数列,由 an=2n,得到数列a n各项为:2,
4、2 2,2n,所以 + + .所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.则 + =1- .8.在等比数列a n中,a 1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 n 和 q.解: a2an-1=a1an, a1an=128.解方程组 或 将 代入 Sn= =126,可得 q= ,由 an=a1qn-1,可得 n=6.将 代入 Sn= =126,可得 q=2,由 an=a1qn-1 可解得 n=6.综上可得,n=6,q=2 或 .三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列a n是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,b n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,设cn= ,Tn=c1+
5、c2+cn,当 Tn2 013 时,n 的最小值为 ( )A.7 B.9 C.10 D.11答案:C解析:由已知 an=2n-1,bn=2n-1, cn= =22n-1-1=2n-1. Tn=c1+c2+cn=(21+22+2n)-n=2 -n=2n+1-n-2. Tn2 013, 2n+1-n-22 013,解得 n10, n 的最小值为 10,故选 C.10.已知公差不为 0 的等差数列a n满足 S7=77,a1,a3,a11 成等比数列 .(1)求 an;(2)若 bn= ,求 bn的前 n 项和 Tn.解:(1)设等差数列 an的公差为 d(d0),由 S7= =77 可得 7a4=
6、77,则 a1+3d=11 .因为 a1,a3,a11 成等比数列,所以 =a1a11,整理得 2d2=3a1d.又 d0,所以 2d=3a1 ,联立 ,解得 a1=2,d=3,所以 an=3n-1.(2)因为 bn= =23n-1=48n-1,所以 bn是首项为 4,公比为 8 的等比数列.所以 Tn= .(建议用时:30 分钟 )1.在等比数列a n中,a 1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值为( )A.5 B.4 C.6 D.7答案:C解析:显然 q1,由 an=a1qn-1,得 96=3qn-1.又由 Sn= ,得 189= . q=2. n=6.2.等比数列a n的前 n
7、项和为 Sn,若 S1,S3,S2 成等差数列,则 an的公比等于( )A.1 B. C.- D.答案:C解析:设等比数列a n的公比为 q,由 2S3=S1+S2,得 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得 2q2+q=0,解得 q=- 或 q=0(舍去) .故选 C.3.等比数列a n中,a 3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( )A.2 B. C.4 D.答案:C解析:a 3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3, q=4.4.设 Sn 为等比数列a n的前 n 项和,8a 2+a5=0,则 =( )A.
8、11 B.5 C.-8 D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则 8a1q+a1q4=0,解得 q=-2. =-11.5.设a n是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 ( )A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:S n=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列a n为 an=2n,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, (Y-X)2=X(Z-Y),整理得 D 正确.6.某住宅小区计划植树不少于
9、100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(nN *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn= =2(-1+2n)100, 2n51, n6.7.已知a n是首项为 1 的等比数列,S n 是a n的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项和为 .答案:解析:易知公比 q1.由 9S3=S6,得 9 ,解得 q=2. 是首项为 1,公比为 的等比数列. 其前 5 项和为 .8.在等比数列a n中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q= ;|a1|+|a2|+|an|= .
10、 答案:-2 2n-1-解析:设等比数列a n的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2;等比数列|a n|的公比为|q|=2,则|a n|= 2n-1,所以|a 1|+|a2|+|a3|+|an|= (1+2+22+2n-1)= (2n-1)=2n-1- .9.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=4,a3+a4=17.(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,证明数列b n是等比数列并求其前 n 项和 Tn.(1)解:设等差数列 an的公差为 d.由题意知解得 a1=1,d=3, an=3n-2(n N*).(2)证明:由题意知,b n
11、= =23n(nN *),bn-1=23(n-1)=23n-3(nN *,n2), =23=8(nN *,n2),又 b1=8, bn是以 b1=8,公比为 8 的等比数列. Tn= (8n-1).10.已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1 为 a(aR),且 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)对 nN *,试比较 + 的大小.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,由题意可知 ,即(a 1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2,因为 d0, d=a1=a.故通项公式 an=na.(2)记 Tn= + ,因为 =2na,所以 Tn= .从而,当 a0 时,T n .
