1、题型专项( 四) 圆的有关计算及证明本专项主要以圆为背景，考查线段、角、弧长等有关的计算，常与三角形、四边形等简单几何图形综合考查，属于中档题且近两年的安徽中考对圆的考查有加强的态势，分值较大，复习时应予以重视类型 1 圆中有关角、线段、垂径定理的计算1(2015眉山)如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为( )A30 B35 C40 D452(2015酒泉)ABC 为O 的内接三角形，若AOC160，则ABC 的度数是( )A80 B160C100 D80或 100来源:学优高考网3(2015南通)如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC
2、 于点 E，AB6，AD5，则 AE 的长为( )A2.5 B2.8C3 D3.24如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC 于 E，交 于 D.BC (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若 BC8，ED2，求O 的半径来源:学优高考网5(2015安徽)在O 中，直径 AB6，BC 是弦，ABC30，点 P 在 BC 上，点 Q 在O 上，且 OPPQ.(1)如图 1，当 PQAB 时，求 PQ 的长度；(2)如图 2，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值6(2015永州)如图，已知 ABC 内接于O，且 ABAC，直径 AD 交 BC 于点 E，F 是 OE 上的一
3、点，使CFBD.(1)求证：BECE；(2)试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由；(3)若 BC8，AD10，求 CD 的长来源:学优高考网7(2015德州)如图，O 的半径为 1，A，P，B ，C 是O 上的四个点，APCCPB60.(1)判断ABC 的形状：_ ；来源:学优高考网 gkstk(2)试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点 P 位于 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积AB 类型 2 圆中弧长与扇形面积的计算1(2015福建)在半径为 6 的 O 中，60圆心角所对的弧长是( )A B2 C4 D62(2015西宁)如
4、图，在半径为 2，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D，连接 CD，则阴影部分的面积是( )A. 1 B. 212 12C2 D13(2015咸宁)如图，在ABC 中，CACB，ACB90，以 AB 的中点 D 为圆心，作圆心角为 90的扇形DEF，点 C 恰在 EF 上，设 BDF(090)，当 由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A由小到大B由大到小C不变D先由小到大，后由大到小4(2015南通)如图，PA ，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，ACB60.(1)求P 的度数；(2)若O 的半径长为 4 cm，求图中阴影部分的面积来源:学优高考网5(201
5、5随州)如图，射线 PA 切O 于点 A，连接 PO.(1)在 PO 的上方作射线 PC，使OPC OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC 是O 的切线；(2)在(1)的条件下，若 PC 切 O 于点 B，AB AP4，求 的长AB 6(2015吉林)如图 1，半径为 R，圆心角为 n的扇形面积是 S 扇形 ，由弧长 l ，得 S 扇形n R2360 n R180 R lR.通过观察，我们发现 S 扇形 lR 类似于 S 三角形 底高n R2360 12 n R180 12 12 12类比扇形，我们探索扇环(如图 2，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫作扇环) 的面
6、积公式及其应用(1)设扇环的面积为 S 扇环 ， 的长为 l1， 的长为 l2，线段 AD 的长为 h(即两个同心圆半径 R 与 r 的差) 类AB CD 比 S 梯形 (上底下底)高，用含 l1，l 2，h 的代数式表示 S 扇环 ，并证明；12(2)用一段长为 40 m 的篱笆围成一个如图 2 所示的扇环形花园，线段 AD 的长 h 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？参考答案类型 11D 2.D 3.B 4.(1)不同类型的正确结论有：BECE； ；BED90；BD CD BODA；ACOD；ACBC；OE 2BE 2OB 2；S ABC BCOE；BOD 是等腰三角形；BOEBA
7、C 等等(2)ODBC，BECE BC4.12设O 的半径为 R，则 OEODDER2.在 RtOEB 中，由勾股定理得 OE2BE 2OB 2，即(R2) 24 2R 2.解得R5.O 的半径为 5. 5.(1)连接 OQ.PQOP，QPO90.PQAB，POB90.直径 AB6，ABC30，OP .3PQ .32 （ 3） 2 6(2)点 P 在 BC 上移动，要使 PQ 最大，则必须 OP 最小根据垂线段最短得当 BCOP 时 OP 最小由 sinOBP得， ，即 OP .OPOB 12 OP3 32PQ max . 32 （ 32） 2 3326.(1)证明：AD 是直径，ABDACD
8、90.在 RtABD 和 RtACD 中， AB AC，AD AD， )RtABDRtACD(HL)BADCAD.ABAC，BECE.(2)四边形 BFCD 是菱形理由：AD 是直径，ABAC，ADBC，BECE.CFBD，FCEDBE.在BED 和CEF 中， FCE DBE，BE CE， BED CEF 90， )BEDCEF(ASA)CFBD.四边形 BFCD 是平行四边形BADCAD，BDCD.四边形 BFCD 是菱形(3)AD 是直径，ADBC，BECE，由CEDAEC 得CE 2DEAE.设 DEx，BC8，AD10，4 2x(10x)解得 x2 或 x8(舍去)在 RtCED 中
9、，CD 2 . CE2 DE2 42 22 57.(1)等边三角形 (2)在 PC 上截取 PDAP，连接 AD.又APC60，APD 是等边三角形ADAPPD，ADP60.ADC120.又APBAPCBPC120，ADCAPB.在APB 和ADC 中， ABP ACP， APB ADC，AP AD， )APBADC(AAS)BPCD.又PDAP，CPBPAP.(3)当点 P 为 的中点时，四边形 APBC 的面积最大理由：过点 P 作 PEAB，垂足为 E.过点 C 作AB CFAB，垂足为 F.S APE ABPE，S ABC ABCF，12 12S 四边形 APBC AB(PECF)当点
10、 P 为 的中点时，PECFPC，PC 为O 的直径，此时四边形 APBC 的面积最12 AB 大又O 的半径为 1，其内接正三角形的边长 AB .3S 四边形 APBC 2 .12 3 3类型 21B 2.D 3.C 4.(1)连接 OA、OB.PA、PB 是O 的切线，OAAP，OBBP.OAPOBP90.又AOB2C120，P360(9090120)60.P60.(2)连接 OP.PA、PB 是O 的切线，APO APB30.在 RtAPO 中，tan30 ，12 OAAPAP 4 (cm)OAtan30 433 3S 阴影 2(S AOP S 扇形 )2( 44 )(16 )(cm2)
11、 12 3 60 42360 3 1635.(1)作图如图连接 OA，过 O 作 OBPC.PA 切O 于点 A，OAPA.又OPCOPA，OBPC，OAOB，即 dr.PC 是O 的切线(2)PA、PC 是O 的切线，PAPB.又ABAP4，PAB 是等边三角形APB60.AOB120，POA60.在 RtAOP 中，tan60 ，4OAOA .433l . AB 120433 180 8396.(1)S 扇环 (l1l 2)h，证明：设大扇形半径为 R，小扇形半径为 r，圆心角度数为 n，则由 l ，得 R12 n r180，r ，180l1n 180l2n图中扇环的面积 S l1R l2r l1 l2 (l l ) (l1l 2)(l1l 2) 12 12 12 180l1n 12 180l2n 90n 21 2 90n 12( R r)(l1l 2) (l1l 2)(Rr) (l1l 2)h，故猜想正确180n n180 n180 12 12(2)根据题意得：l 1l 2402h，则 S 扇环 (l1l 2)h (402h)hh 220h(h10) 2100.12 1210，开口向下，S 有最大值，当 h10 时，S 最大值是 100.所以线段 AD 的长 h 为 10 m 时，花园的面积最大，最大面积是 100 m2.
