1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十二)双曲线及其标准方程(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2015福建高考)若双曲线 E： - =1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P在双曲线 E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于 ( )A.11 B.9 C.5 D.3【解析】选 B.因为 =2a，所以 - =6，所以 =9 或-3(舍去).【补偿训练】设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，若|PF 1|=1
2、0，则|PF 2|=_.【解析】由双曲线方程，得 a=3，b=4，c=5.当点 P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF 2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16；当点 P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF 1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.故|PF 2|=4 或|PF 2|=16.答案：4 或 162.一动圆 P 过定点 M(-4，0)，且与已知圆 N：(x-4) 2+y2=16 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( )A. - =1(x2) B. - =1(x2)C. - =1 D. - =1【解析】选 C.由已
3、知 N(4，0)，内切时，定圆 N 在动圆 P 的内部，有|PN|=|PM|-4，外切时，有|PN|=|PM|+4，故|PM|-|PN|=4，因此 2a=4，2c=8，所以 b2=12，点 P 的轨迹是双曲线 - =1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选 A 或 B.3.(2015信阳高二检测)已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0，3)，则 k 的值为 ( )A.1 B.-1 C. D.- 来源:学优高考网【解析】选 B.将双曲线方程化为 kx2- y2=1，即 - =1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在 y 轴上，所以 c=3，a 2=- ，b 2=- ，所
4、以 a2+b2=- - =-=c2=9.所以 k=-1.【误区警示】本题有两处易错：一是 a2，b 2确定错误，应该是 a2=- ，b 2=- ；二是 a，b，c 的关系式用错.在双曲线中应为 c2=a2+b2.4.设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则F 2PQ 的周长为 ( )A.19 B.26 C.43 D.50【解析】选 B.如图,由双曲线的定义可得将两式相加得|PF 2|+|QF2|-|PQ|=4a,所以F 2PQ 的周长为|PF 2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=43+27=26.5.(
5、2015开封高二检测)双曲线 - =1 上一点 P 到点(5，0)的距离为 15，那么该点到(-5，0)的距离为 ( )A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23【解析】选 D.由题知 a2=16，b 2=9，所以 c2=25.又焦点在 x 轴上，所以焦点为 F1(-5，0)，F 2(5，0)，|PF1|-|PF2|=2a=8，|PF 1|-15|=8，所以|PF 1|-15=8 或|PF 1|-15=-8，所以|PF 1|=23 或|PF 1|=7.【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据
6、|PF 1|-|PF2|=2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 c-a).二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.已知ABC 的顶点 B(-2，0)，C(2，0)，并且 sinC-sinB= sinA，则顶点 A 的轨迹方程是_.【解析】设ABC 外接圆半径为 R，则由：sinC-sinB= sinA，得：- = ，即|AB|-|AC|=2.所以点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.因为 2a=2，c=2，所以 a2=1，b 2=c2-a2=3.故点 A 的轨迹方程为 x2- =1(x1).答案：x 2- =1(x1)7.(
7、2015山西师大附中高二检测)从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9的切线，切点为 T，延长 FT 交双曲线右支于 P 点，若 M 为线段 FP 的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=_.【解析】设 F2为椭圆右焦点，则|OM|= |PF2|，|PF|-|PF2|=6.因为 FT 是O 的切线，所以|FT|=4，所以|MT|=|MF|-|FT|= |PF|-4，所以|MO|-|MT|= |PF2|- |PF|+4=4- (|PF|-|PF2|)=1.答案：1【补偿训练】若双曲线 - =1(m0，n0)和椭圆 + =1(ab0)有相同的焦点 F1，F 2，M 为两曲线的交点
8、，则|MF 1|MF2|等于_.【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=2 ， |MF1|+|MF2|=2 ， 2- 2得，4|MF 1|MF2|=4a-4m，所以|MF 1|MF2|=a-m.答案：a-m8.已知双曲线上两点 P1，P 2的坐标分别为(3，-4 )， ，则双曲线的标准方程为_.【解析】若曲线的焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为： -=1(a0，b0)依题意得令 m= ，n= ，则方程组化为：解这个方程组得即 a2=16，b 2=9，所以所求双曲线的标准方程为 - =1.若焦点在 x 轴上，设所求双曲线方程为 - =1(a0，b0)，依题意得此时无解.
9、综上可得，所求双曲线的标准方程为 - =1.答案： - =1【一题多解】设所求双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB0)，依题意得 解得故所求双曲线方程为- + =1 即 - =1.答案： - =1三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.(2015洛阳高二检测)已知曲线 C： + =1(t0，t1).来源:gkstk.Com(1)求 t 为何值时，曲线 C 分别为椭圆、双曲线.(2)求证：不论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点.来源:学优高考网 gkstk【解析】(1)当|t|1 时，t 20，t 2-10，曲线 C 为椭圆；当 01 时，t 2-10，曲线 C 是椭圆，且 t2t2
10、-1，因而 c2=t2-(t2-1)=1.所以焦点为 F1(-1，0)，F 2(1，0).当 00,且 k1 时,点 P(x,y)的轨迹为椭圆;当 k0，椭圆的焦距为 4，所以 c2=n-1=4 或 1-n=4，解得 n=5 或-3(舍去).答案：54.(2015盐城高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_.【解析】设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|，所以|PF|+|PA|=4+|PF 1|+|PA|.所以当|PF 1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A，P，F 1共线时，满足|PF 1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF 1|=5，故所求最小值为 9.答案：9
